在行政诉讼案件处于高级人民法院审查期间，一般不可以直接申请督办，但可通过合法途径反映情况以推动案件进展。具体分析如下：

1. 督办程序的适用范围与启动条件
   督办通常指上级机关对下级机关办理的重大、疑难或久拖不决案件进行督促办理的制度，多见于行政机关内部监督（如上级政府对下级政府、上级法院对下级法院的案件督办）。在司法程序中，法院系统内部有严格的审级制度和案件管理流程，高级人民法院作为二审法院或再审法院，其审查程序本身已包含对案件的监督职能，因此外部主体直接申请“督办”缺乏明确的法律依据。

2. 当事人可采取的合法替代措施
   若当事人认为案件审查存在拖延、程序违法等问题，可通过以下途径推动进展：

   • 联系承办法官或书记员：直接与高级人民法院的承办法官沟通，了解案件审查进度及原因，表达合理诉求。
     
   • 申请延长审限复议：若法院未在法定审限内结案，当事人可依据《行政诉讼法》第八十八条，向法院申请复议，要求说明超期理由或加快审查。
     
   • 向检察院申请法律监督：根据《行政诉讼法》第九十三条，当事人可向同级人民检察院申请检察建议或抗诉，由检察院对法院的审判活动进行法律监督。
     
   • 信访渠道反映情况：通过高级人民法院的信访部门或上级法院的信访平台，提交书面材料说明案件情况及诉求，但需注意信访不替代诉讼程序，仅作为辅助手段。

3. 特殊情形下的督办可能性
   若案件涉及重大社会影响、群体性纠纷或上级机关交办事项，高级人民法院可能主动启动内部督办程序，但此为法院依职权行为，无需当事人申请。当事人可通过合法途径推动案件进入此类范畴（如提交案件重大性的证据材料），但无法直接要求督办。

建议：若您遇到行政诉讼审查拖延问题，可优先通过联系承办法官、申请审限复议或向检察院申请监督等合法途径解决。如需进一步分析案件情况或制定具体策略，可直接向我咨询，我将结合案件细节为您提供专业建议。