结论：在法律援助受理的工伤理赔过程中，申请人是否需要向工厂提交离职手续，取决于工伤理赔的具体阶段和申请人的实际情况。以下从不同角度进行分析：

一、工伤理赔的初步阶段

在工伤理赔的初步阶段，即工伤认定和劳动能力鉴定阶段，申请人通常不需要向工厂提交离职手续。这是因为：

1. 工伤认定：根据《工伤保险条例》的规定，职工发生事故伤害或者按照职业病防治法规定被诊断、鉴定为职业病，所在单位应当自事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。如果单位未按时提出申请，工伤职工或者其近亲属、工会组织在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。在这个阶段，主要关注的是工伤事实的确认和工伤认定的程序，与是否离职无关。

2. 劳动能力鉴定：在工伤认定后，如果工伤职工的伤情稳定，存在残疾、影响劳动能力的，应当进行劳动能力鉴定。劳动能力鉴定由用人单位、工伤职工或者其近亲属向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出申请，并提供工伤认定决定和职工工伤医疗的有关资料。这个阶段同样不涉及离职手续的问题。

二、工伤理赔的后续阶段（涉及赔偿）

在工伤理赔的后续阶段，即涉及工伤赔偿时，申请人是否需要提交离职手续，取决于其是否选择离职以及离职的时间点：

1. 继续在工厂工作：如果工伤职工在伤情稳定后选择继续留在工厂工作，那么自然不需要提交离职手续。此时，工伤赔偿（如一次性伤残补助金、伤残津贴等）将按照相关规定进行发放，与是否离职无关。

2. 选择离职：

   • 离职时间点在工伤认定和劳动能力鉴定之后：如果工伤职工在完成工伤认定和劳动能力鉴定后选择离职，那么在申请工伤赔偿时，可能需要提供离职证明等相关文件，以证明其离职的事实和离职时间。这是因为某些工伤赔偿项目（如一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金）的发放，可能与职工的离职时间有关。
   • 离职时间点在工伤认定和劳动能力鉴定之前：如果工伤职工在工伤认定和劳动能力鉴定之前就选择了离职，那么这可能会影响其工伤赔偿的申请和发放。因为在此情况下，工厂可能会以职工已离职为由，拒绝承担或部分承担工伤赔偿责任。但这种情况并不绝对，具体还需根据当地的法律法规和实际情况进行判断。

三、法律建议

1. 保留相关证据：无论是否选择离职，工伤职工都应保留好与工伤相关的所有证据，如工伤认定决定书、劳动能力鉴定结论书、医疗费用发票等。这些证据在申请工伤赔偿时将起到至关重要的作用。

2. 咨询专业律师：由于工伤理赔涉及复杂的法律程序和规定，建议工伤职工在申请工伤赔偿前咨询专业律师的意见。律师可以根据工伤职工的具体情况，提供针对性的法律建议和帮助。

3. 注意离职时间点：如果工伤职工考虑离职，建议其在完成工伤认定和劳动能力鉴定后再做决定。这样可以确保工伤赔偿的申请和发放不受影响。

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