在行政处罚过程中，若行政机关在调查一个案件线索时发现当事人存在另一个违法行为，行政机关应当依法对该新发现的违法行为进行独立调查，并根据调查结果依法作出相应的行政处罚决定。以下从不同角度进行详细分析：
一、法律原则与程序要求
一事不再罚原则：这一原则主要指的是对当事人的同一个违法行为，不得给予两次以上罚款的行政处罚。然而，它并不妨碍行政机关对当事人新发现的、与之前违法行为不同的另一个违法行为进行处罚。因此，如果新发现的违法行为与之前的违法行为是独立的，行政机关可以依法对其进行处罚。
独立调查程序：行政机关在发现新的违法行为后，应当启动独立的调查程序，收集相关证据，查明事实真相。这包括询问当事人、证人，查阅、复制相关文件资料，进行现场勘查等。
依法作出处罚决定：在调查结束后，行政机关应当根据调查结果，依法判断新发现的违法行为是否成立，以及应当给予何种行政处罚。如果违法行为成立，行政机关应当制作行政处罚决定书，并依法送达当事人。
二、具体处罚措施
行政处罚的种类包括但不限于警告、通报批评、罚款、没收违法所得、没收非法财物、暂扣许可证件、降低资质等级、吊销许可证件、限制开展生产经营活动、责令停产停业、责令关闭、限制从业以及行政拘留等。行政机关在发现新的违法行为后，应当根据违法行为的性质、情节以及社会危害程度等因素，依法选择适当的处罚措施。
三、实践中的注意事项
确保程序合法：行政机关在调查和处罚新发现的违法行为时，必须严格遵守法定程序，确保当事人的合法权益不受侵害。这包括告知当事人有权陈述、申辩，以及在必要时举行听证会等。
避免重复处罚：虽然一事不再罚原则主要针对的是罚款，但行政机关在处罚新发现的违法行为时，也应当注意避免对当事人进行重复处罚或过度处罚。这要求行政机关在作出处罚决定时，要充分考虑违法行为的性质、情节以及社会危害程度等因素。
加强执法监督：为了确保行政机关依法行使职权，避免滥用职权或违法行政行为的发生，应当加强对行政执法的监督力度。这包括内部监督和外部监督两个方面，如上级行政机关对下级行政机关的监督、司法机关对行政机关的监督以及社会公众对行政机关的监督等。
举例说明：假设行政机关在调查一起环境污染案件时，发现当事人还存在非法占用土地的行为。这两个行为是独立的，因此行政机关可以依法对环境污染行为进行处罚的同时，也对非法占用土地的行为进行处罚。在处罚非法占用土地的行为时，行政机关需要启动独立的调查程序，收集相关证据，并根据调查结果依法作出处罚决定。
总结与建议：在行政处罚过程中，若行政机关发现当事人存在另一个违法行为，应当依法进行独立调查，并根据调查结果依法作出相应的行政处罚决定。同时，行政机关在处罚过程中应当严格遵守法定程序，确保当事人的合法权益不受侵害。如果您在行政处罚方面遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。