您好，非常理解您现在的困扰。即使您与私人公司没有签订书面劳动合同，但在发生工伤的情况下，您依然有权获得相应的赔偿。下面我将为您详细解答整个流程和需要注意的法律点：

一、确认劳动关系

首先，您需要证明与私人公司之间存在事实劳动关系。这可以通过收集以下证据来实现：

• 工资支付凭证或记录，比如银行转账记录、工资条等；
• 工作证件，如工牌、工作服等能显示公司名称和您个人信息的证件；
• 考勤记录，包括打卡记录、考勤表等，这些能证明您的工作时间和出勤情况；
• 同事的证言，但请注意，证人需要出庭作证才具有法律效力；
• 工作通讯记录，如短信、微信聊天记录等，这些也能作为辅助证据来证明您与公司之间的劳动关系。

二、申请工伤认定

在确认了劳动关系之后，您需要在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，向公司所在地统筹地区的社会保险行政部门提出工伤认定申请。申请时需要准备以下材料：

• 工伤认定申请表，需要填写完整；
• 与公司存在劳动关系的证明材料，即您之前收集的证据；
• 医疗机构出具的诊断证明书或职业病诊断证明书。

工伤认定是后续要求赔偿的前提和基础，所以请务必及时申请。

三、进行劳动能力鉴定

如果您的伤情相对稳定后存在残疾、影响劳动能力，那么您需要向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出申请，进行劳动能力鉴定。鉴定结果将评定您的伤残等级，从一级到十级，不同等级对应不同的赔偿标准。这是确定赔偿金额的重要依据。

四、要求赔偿

根据《工伤保险条例》和相关法律法规，您有权要求公司承担以下赔偿项目：

• 医疗费用：包括符合工伤保险诊疗项目目录、药品目录、住院服务标准的费用；
• 停工留薪期工资：在停工留薪期间，您的原工资福利待遇不变，由公司按月支付；
• 伤残津贴：根据您的伤残等级，您将享受不同比例的伤残津贴；
• 一次性伤残补助金：根据您的伤残等级，确定补助金的月数；
• 一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金：在劳动、聘用合同期满终止或您提出解除合同时支付。

如果公司未为您缴纳工伤保险，那么上述所有费用均应由公司承担。

五、协商与维权

在要求赔偿的过程中，您可以首先尝试与公司进行协商，提出合理的赔偿要求。如果协商不成，您可以向劳动保障部门投诉或提起劳动仲裁。对仲裁裁决不服的，您还可以向人民法院提起诉讼。

六、额外提醒

• 由于公司未与您签订书面劳动合同，您还有权要求公司支付未签订劳动合同的双倍工资差额。
• 在整个过程中，我建议您咨询专业的法律人士以获取更具体的法律建议和支持，确保您的权益得到充分保障。

希望以上解答能够帮助到您。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。