结论：事业编人员下乡镇政府工作期间死亡，原单位是否应给予理赔（通常指工伤赔偿等），需根据具体情况判断，主要包括是否构成工伤以及相关法律法规的适用。以下从不同角度进行分析：

一、是否构成工伤

1. 工作时间与地点：

   • 若事业编人员在乡镇政府工作期间，因工作原因受到事故伤害或患职业病，且该工作是其原单位安排或认可的，那么根据《工伤保险条例》的相关规定，该伤害或疾病可能构成工伤。
   • 例如，若该人员在下乡镇政府工作期间，因执行公务而遭遇交通事故，或因工作环境导致患上职业病，均可能被认定为工伤。

2. 非工作时间与地点：

   • 若事业编人员在非工作时间、非工作地点，且非因工作原因受到伤害，那么通常不构成工伤，原单位无需承担工伤赔偿责任。
   • 例如，若该人员在下班后自行外出游玩时遭遇意外，那么该伤害与工作无关，不构成工伤。

二、相关法律法规的适用

1. 工伤保险条例：

   • 根据《工伤保险条例》，职工因工作遭受事故伤害或者患职业病进行治疗，享受工伤医疗待遇。若构成工伤，原单位（或工伤保险基金）应支付相应的工伤赔偿，包括医疗费、伤残津贴、一次性工亡补助金等。
   • 事业编人员虽可能不属于传统意义上的“职工”，但若其与原单位存在劳动关系，且该劳动关系受《工伤保险条例》保护，那么其同样享有工伤赔偿的权利。

2. 事业单位人事管理条例：

   • 事业编人员的管理还可能受到《事业单位人事管理条例》等法规的调整。这些法规可能规定了事业编人员在特定情况下的待遇和保障措施。
   • 例如，若事业编人员因公牺牲或病故，其家属可能根据《事业单位人事管理条例》的相关规定享受抚恤金等待遇。

三、理赔流程与注意事项

1. 及时报告与认定：

   • 事业编人员或其家属应在事故发生后及时向原单位报告，并申请工伤认定。工伤认定是享受工伤赔偿的前提条件。
   • 原单位应积极配合工伤认定工作，提供必要的证明材料和协助。

2. 理赔申请与审核：

   • 若构成工伤，事业编人员或其家属应向原单位或工伤保险基金申请工伤赔偿。申请时应提交相关证明材料，如工伤认定书、医疗费用发票等。
   • 原单位或工伤保险基金应对申请进行审核，并在规定时间内支付赔偿款项。

3. 法律途径：

   • 若原单位拒绝支付工伤赔偿或双方对赔偿金额存在争议，事业编人员或其家属可以通过法律途径解决纠纷，如申请劳动仲裁或提起民事诉讼。

建议：事业编人员下乡镇政府工作期间死亡，原单位是否应给予理赔需根据具体情况判断。若构成工伤且符合相关法律法规的规定，原单位应承担相应的赔偿责任。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。