诽谤公安机关是否可以立案，主要取决于诽谤行为的严重程度及其对社会秩序和国家利益的影响。以下是对此问题的详细分析：

1. 可以立案的情形：

   • 严重危害社会秩序和国家利益：若诽谤行为达到严重危害社会秩序和国家利益的程度，如引发群体性事件、严重影响社会正常秩序，或诽谤国家领导人、政府重要政策（在此情境下特指公安机关这一国家公权力机关）等，损害国家形象和声誉，公安机关将主动立案侦查。例如，有人故意捏造公安机关在某起案件处理中存在严重不当行为的虚假事实并广泛传播，导致大量群众聚集、游行等，严重影响社会秩序和稳定，此类情况即可能被视为严重危害社会秩序，公安机关会立案处理。
   • 网络传播广泛且情节严重：根据《中华人民共和国刑法》及相关司法解释，若诽谤信息通过网络传播，且实际被点击、浏览次数达到五千次以上，或被转发次数达到五百次以上，也可能构成情节严重，从而触发公安机关的立案机制。

2. 一般不予刑事立案但可按治安案件处理的情形：

   • 若诽谤行为尚未达到刑事立案标准，但违反了《中华人民共和国治安管理处罚法》，则公安机关会作为治安案件进行处理。根据该法第四十二条第二项的规定，公然侮辱他人或捏造事实诽谤他人的，可处五日以下拘留或五百元以下罚款；情节较重的，处五日以上十日以下拘留，并可并处五百元以下罚款。例如，某人在公众场合捏造事实诽谤公安机关，但尚未造成严重后果，也未达到刑事立案的情节严重标准，此时公安机关可依据治安管理处罚法进行处罚。

3. 公民监督权与合理质疑：

   • 值得注意的是，公民对公安机关执法过程中存在的问题进行合理质疑和批评，是行使监督权的表现，受法律保护。这种质疑和批评应当基于事实和法律，不得捏造事实进行诽谤。若公民在行使监督权时超出了合理范围，捏造事实对公安机关进行诽谤，则可能面临法律责任。

4. 应对建议：

   • 对于遭受诽谤的公安机关或个人，建议及时收集相关证据，如诽谤信息的截图、传播记录等，并咨询专业律师（即向我咨询）以获取准确的法律意见和帮助。若诽谤行为达到刑事立案标准，可向公安机关报案；若未达到，但违反治安管理，可要求公安机关按治安案件处理；同时，也有权通过民事诉讼的方式维护自己的合法权益。

法律依据：

• 《中华人民共和国刑法（2023修正）》第二百四十六条：以暴力或者其他方法公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利。前款罪，告诉的才处理，但是严重危害社会秩序和国家利益的除外。通过信息网络实施第一款规定的行为，被害人向人民法院告诉，但提供证据确有困难的，人民法院可以要求公安机关提供协助。
• 《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十二条：有下列行为之一的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款；情节较重的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款:（二）公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人的。

综上所述，诽谤公安机关的立案与否，关键在于诽谤行为的严重程度及其对社会秩序和国家利益的影响。若您遇到此类问题，欢迎直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议。