结论：合伙人因经济案件被判15天，通常指的是被处以行政拘留或短期刑事拘留（如拘役的先行羁押部分，但拘役本身刑期为1个月以上6个月以下，所以15天更可能是行政拘留），是否会留下案底取决于具体的法律性质和后续处理情况。

详细分析：

1. 行政拘留与案底：

   • 如果这15天是行政拘留，那么根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，行政拘留是对违反治安管理行为人的一种行政处罚，它不会留下刑事案底，但会在公安机关的治安管理处罚档案中留下记录。这种记录通常不对外公开，除非在特定情况下（如涉及再次违法犯罪时的背景调查）可能会被查阅。
   • 影响：行政拘留的记录一般不会对个人的日常生活产生太大影响，但在某些特定职业（如公务员、律师等需要政审的职业）的录用或晋升中，可能会作为参考因素之一。

2. 刑事拘留与案底：

   • 如果这15天是刑事拘留，且后续被法院判决有罪（如拘役、有期徒刑等），那么就会留下刑事案底。刑事案底是犯罪记录的正式称谓，它记录了个人因犯罪行为而受到的刑事处罚情况。
   • 影响：刑事案底对个人的影响较大，它可能会影响个人的就业、出国、贷款等多个方面。特别是在需要政审的职业中，刑事案底往往是无法通过政审的硬性障碍。
   • 特殊情况：如果刑事拘留后，案件被撤销、不起诉或判决无罪，那么通常不会留下刑事案底。但需要注意的是，即使案件最终未定罪，刑事拘留的记录也可能在公安机关内部存在，并在特定情况下被查阅。

3. 关于拘役的说明：

   • 拘役是刑法中的一种刑罚方式，其刑期为1个月以上6个月以下。如果合伙人被判处拘役，那么即使实际执行时间可能因各种原因（如缓刑、假释等）而短于判决刑期，但判决本身就意味着留下了刑事案底。不过，根据您的描述，15天更可能是行政拘留而非拘役的刑期。

建议：

• 如果您或您的合伙人确实面临了这样的法律情况，建议尽快咨询专业律师以获取更详细的法律意见。律师可以根据具体情况分析案件的性质、可能的法律后果以及应对策略。
• 对于已经留下的记录（无论是行政拘留还是刑事案底），如果认为记录有误或存在不公正情况，可以通过法律途径申请更正或撤销。但这通常需要充分的证据和复杂的法律程序。

总结：合伙人因经济案件被判15天是否会留下案底，取决于这15天是行政拘留还是刑事拘留以及后续的法律处理情况。行政拘留通常不会留下刑事案底，但会在公安机关的治安管理处罚档案中留下记录；而刑事拘留如果后续被判决有罪，则会留下刑事案底。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。