结论：用人单位未与员工签订劳动合同，且员工自己离职未提交书面离职申请的情况下，员工通常无需向用人单位赔偿；相反，如果用人单位自用工之日起超过一个月未与员工签订书面劳动合同，员工在离职时有权要求用人单位支付二倍工资差额，并可能根据具体情况要求经济补偿金。
详细分析：
员工无需赔偿用人单位：
- 员工选择辞职是其个人权利，无论是否签订了劳动合同，辞职本身并不构成需要向用人单位赔偿的理由。除非存在特定法定或约定的赔偿情形（如违反服务期约定、竞业限制等），否则员工无需向用人单位承担赔偿责任。
用人单位未签劳动合同的法律责任：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果用人单位未在法定期限内与员工签订劳动合同，员工在离职时可以要求用人单位支付自用工满一个月的次日起至离职时的二倍工资差额，但最长不超过十一个月。
- 计算公式：假设员工月工资为W，入职后第N个月离职（N>1且N≤12），则二倍工资差额为\((N-1) \times W\)（若N>12，则按11个月计算）。
经济补偿金的考虑：
- 在某些情况下，如用人单位存在违法用工行为（如未依法为员工缴纳社会保险费、未提供必要的劳动条件等），员工在离职时还可以根据法律规定要求用人单位支付经济补偿金。经济补偿金的计算标准通常按员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。
- 计算公式：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（月工资指员工在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资）。
维权途径与建议：
- 为维护自身合法权益，员工应保留好与用人单位存在劳动关系的证据（如工作记录、工资发放记录、同事证言等）。
- 在发生争议时，员工可以向当地劳动监察大队投诉或向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。
- 建议员工在离职前与用人单位进行沟通协商，明确各自的责任和义务，尝试达成和解。如果协商不成，再考虑通过法律途径解决争议。
实例说明：
假设员工小张于2024年1月1日入职某公司，公司一直未与其签订劳动合同。小张在2024年8月1日主动离职，且未提交书面离职申请。那么根据法律规定，小张可以要求公司支付2024年2月1日至2024年8月1日期间的二倍工资差额。同时，如果公司存在其他违法用工行为（如未依法为小张缴纳社会保险费），小张还可以根据实际情况要求公司支付经济补偿金。
综上所述，员工在未签订劳动合同的情况下自己离职且未提交书面离职申请，通常无需向用人单位赔偿；反而可能根据法律规定获得用人单位支付的二倍工资差额和经济补偿金。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。