关于用人单位未签订书面劳动合同的赔偿问题，这是一个涉及劳动者权益的重要法律问题。根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规，我将为您详细解答这一问题。

一、赔偿的法律依据

首先，我们要明确的是，根据《劳动合同法》第八十二条的规定：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”这一条款是赔偿的主要法律依据。

二、赔偿的具体情况与计算方式

1. 自用工之日起一个月内未签订：

   • 在这种情况下，如果用人单位已经书面通知劳动者签订劳动合同，但劳动者拒绝签订，用人单位有权书面通知劳动者终止劳动关系，且无需支付经济补偿。不过，用人单位仍需支付劳动者实际工作时间的劳动报酬。

2. 超过一个月不满一年未签订：

   • 用人单位需从用工之日起满一个月的次日起，至补订书面劳动合同的前一日止，每月向劳动者支付二倍的工资。这里的“二倍工资”是指劳动者当月应得工资的两倍，包括计时工资、计件工资、奖金、津贴和补贴等货币性收入。
   • 举例说明：如果劳动者于2024年1月1日入职，公司直至2024年6月1日才与其补签劳动合同，那么公司应支付劳动者2024年2月1日至2024年5月31日期间的二倍工资差额。

3. 满一年未签订：

   • 如果自用工之日起满一年仍未签订书面劳动合同，用人单位需从用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日，每月向劳动者支付两倍的工资。
   • 同时，视为自用工之日起满一年的当日已经与劳动者订立无固定期限劳动合同，用人单位应立即补订书面劳动合同。
   • 如果用人单位违反规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同，则需自应当订立之日起，每月向劳动者支付二倍的工资。

三、劳动者主张权利时的注意事项

1. 证据收集：

   • 劳动者在主张赔偿时，应收集能证明劳动关系存在的证据，如工资支付凭证、工作证、考勤记录、其他劳动者的证言等。这些证据将有助于证明劳动者与用人单位之间的劳动关系以及劳动者的工资水平。

2. 仲裁时效：

   • 劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，劳动者应及时行使自己的权利，避免超过时效期间而无法获得赔偿。

四、赔偿程序与建议

1. 协商与投诉：

   • 劳动者可先尝试与用人单位协商解决赔偿问题。如果协商不成，可以向当地劳动监察部门投诉举报用人单位的违法行为。

2. 仲裁与诉讼：

   • 如果投诉未能解决问题，劳动者可以在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内申请劳动仲裁。对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼。

3. 建议：

   • 对于用人单位而言，严格遵守相关法律法规，及时与劳动者签订书面劳动合同是避免法律风险和维护企业形象的重要举措。
   • 对于劳动者而言，了解自己的权益并学会运用法律武器维护自己的合法权益是至关重要的。在必要时，可以寻求专业法律帮助以更好地维护自己的权益。

综上所述，用人单位未与劳动者签订书面劳动合同将面临支付二倍工资的法律责任。劳动者在主张赔偿时应注意收集证据并遵守仲裁时效规定。同时，建议用人单位和劳动者都应了解并遵守相关法律法规以维护双方的合法权益。