结论：孩子成年后，抚养一方在特定情况下有权利起诉另一方垫付的抚养费，但具体能否成功追讨以及追讨的金额，需根据实际情况和法律规定由法院判定。以下是对这一问题的详细分析：
一、一般原则
根据法律规定，父母对子女的抚养义务一般持续至子女十八周岁。当子女成年后，即被视为具备完全民事行为能力，可以独立生活，此时父母的抚养义务原则上已经完成。因此，在正常情况下，成年子女（或抚养一方代为）不能再就未成年时期未支付的抚养费单独提起诉讼要求支付。
二、特殊情形下的追索权
尽管一般情况下成年子女不能起诉索要抚养费，但在以下特殊情形下，抚养一方（或成年子女本人）仍有权起诉要求另一方支付抚养费：
尚在校接受高中及其以下学历教育：
- 即便子女已经成年，但如果他们仍在校接受高中及其以下学历教育，并且没有独立生活的能力和条件，那么他们仍然需要父母的抚养支持。在这种情况下，抚养一方可以起诉要求另一方支付抚养费。
丧失或未完全丧失劳动能力等非因主观原因而无法维持正常生活：
- 如果成年子女因患有严重疾病、残疾或其他非主观原因导致无法通过自身劳动获得足够收入以维持基本生活，且另一方父母有给付能力，那么另一方父母依然有责任负担必要的抚养费。此时，抚养一方可以依法起诉要求另一方支付抚养费。
未成年期间被拖欠的抚养费：
- 追索抚养费是不受诉讼时效限制的。这意味着，无论子女何时发现父母拖欠抚养费，都有权提起诉讼进行追索。因此，如果子女在未成年期间被另一方父母拖欠了抚养费，抚养一方在子女成年后仍然有权起诉追索。
三、法律限制与注意事项
独立生活能力的判断：
- 如果子女已经成年且具备完全民事行为能力，同时也不属于不能独立生活的成年子女范畴，那么他们（或抚养一方代为）要求另一方支付抚养费的请求可能会受到法律限制。
另一方父母已履行抚养义务的情况：
- 特别是在另一方父母已经按照法律或协议履行了抚养义务的情况下，抚养一方再行起诉要求支付抚养费可能会面临较大的法律障碍。
证据的收集与提供：
- 在起诉追索抚养费时，抚养一方需要提供充分的证据来证明另一方父母未履行抚养义务或拖欠抚养费的事实。这可能包括银行转账记录、聊天记录、证人证言等。
四、建议与行动
收集证据：
- 如果抚养一方打算起诉追索抚养费，首先需要收集充分的证据来证明另一方父母未履行抚养义务或拖欠抚养费的事实。
咨询与准备：
- 在起诉前，抚养一方可以向我咨询具体的法律程序和注意事项，以便更好地准备诉讼材料。
提起诉讼：
- 在收集到充分证据并准备好诉讼材料后，抚养一方可以向法院提起诉讼，要求另一方支付拖欠的抚养费。
最后，抚养纠纷涉及复杂的法律关系和情感因素，因此在实际操作中需要谨慎处理。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。