结论：老人吉世的存款到期后，子女能否取出，需视具体情况而定，主要取决于存款的存入方式、是否知晓密码以及是否具备合法的代理或继承手续。以下是具体分析：
如果存款是以老人的名义存入，且子女知晓密码：
- 在这种情况下，子女可以凭借老人的身份证、自己的身份证以及存款凭证（如存折、银行卡等），在银行营业时间内前往银行柜台或通过自助设备（如ATM机，如果金额在允许范围内）取出存款。
- 但需要注意的是，如果存款金额较大或银行有特殊规定，可能需要老人本人亲自办理或提供额外的授权文件。
如果存款是以老人的名义存入，但子女不知晓密码：
- 子女无法直接取出存款，因为银行需要验证取款人的身份和权限。
- 在这种情况下，如果老人仍然健在且具备完全民事行为能力，可以由老人本人前往银行重置密码或办理取款手续。
- 如果老人已经丧失民事行为能力（如因疾病、年老等原因），子女需要作为老人的法定代理人或监护人，提供相关的法律文件（如法院判决书、监护人证明等）和老人的身份证、存款凭证等，才能办理取款手续。
如果老人已经去世：
- 子女作为法定继承人，需要先办理继承手续，包括获取继承权公证书或法院判决书等法律文件。
- 然后，子女可以凭借这些法律文件、老人的死亡证明、自己的身份证以及存款凭证等，前往银行办理取款手续。
- 如果存款金额较大或银行有特殊规定，可能还需要提供其他额外的文件或满足其他条件。
建议：
- 如果老人仍然健在且具备完全民事行为能力，建议老人提前与子女沟通好存款的取用事宜，包括密码、存款凭证的保管等。
- 如果老人已经丧失民事行为能力或去世，子女应及时咨询专业律师或银行工作人员，了解具体的取款流程和所需文件，以便顺利办理取款手续。
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