结论概述：在母亲未留下遗嘱且外祖母随后亡故的情况下，外祖母应继承的那份房产将按照法定继承的规则，由外祖母的法定继承人（即其子女、父母等，具体视实际情况而定）来继承。若外祖母的父母已先于其去世，且外祖母无其他子女或子女也已去世，则可能涉及代位继承或转继承的情况。

详细分析：

1. 法定继承的基本规则：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，当被继承人未留下遗嘱时，其遗产将按照法定继承的顺序和份额进行分配。
   • 在本题中，母亲留下的房子属于其遗产，由于未留下遗嘱，因此将按照法定继承来处理。

2. 外祖母的继承权：

   • 在母亲去世时，外祖母作为母亲的母亲，是母亲的法定继承人之一，有权继承母亲遗产的一部分。
   • 若外祖母在母亲去世后、遗产分配前去世，且未表示放弃继承，则其应继承的份额将转由其法定继承人继承。

3. 外祖母法定继承人的确定：

   • 外祖母的法定继承人包括其子女（即母亲的兄弟姐妹）、父母等。
   • 若外祖母的父母已先于其去世，且外祖母无其他子女或子女也已去世，则需考虑代位继承或转继承的情况。
     • 代位继承：如果外祖母的子女（即母亲的兄弟姐妹）先于外祖母去世，且该子女有子女（即母亲的侄子女、外甥子女），则这些侄子女、外甥子女有权代位继承其父母应继承的份额。
     • 转继承：如果外祖母在继承开始后、遗产分割前去世，且其应继承的份额尚未实际取得，则该份额将转由其法定继承人（如外祖母的兄弟姐妹、如果外祖母的父母还在世则包括父母等，但实际情况中父母先于外祖母去世的情况更为常见）继承。不过，在大多数情况下，外祖母的父母会先于其去世，因此转继承更可能发生在外祖母的兄弟姐妹之间。

4. 实际操作中的建议：

   • 由于房产继承涉及复杂的法律关系和多个继承人的权益，建议所有相关继承人协商一致，共同办理继承手续。
   • 若协商不成，可以寻求法律途径解决，如向人民法院提起继承纠纷诉讼。
   • 在处理继承事宜时，务必保留好相关证据，如死亡证明、亲属关系证明等，以便在需要时提供证明。

特殊情况说明：

• 如果存在其他特殊情况，如外祖母有遗嘱指定了其应继承份额的继承人，或者存在其他影响继承的法律事实（如丧失继承权等），则需根据具体情况来分析。

后续行动建议：

• 鉴于房产继承的复杂性和敏感性，建议所有相关继承人尽快咨询专业律师，以便更准确地了解各自的权益和义务，并共同协商出合理的继承方案。

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