关于单位是否有权查询家长（或任何个体）的无犯罪记录，这主要取决于具体的法律法规以及查询的目的和情境。

首先，我们需要明确的是，“无犯罪记录证明”是我国国家专门机关对犯罪人员的客观记载，它通常用于证明个人在一定时期内没有犯罪记录。对于个人而言，他们有权到户籍地或居住地公安派出所查询本人的犯罪记录，或者委托他人代为查询。

对于单位而言，它们确实有权在特定情况下查询本单位在职人员或拟招录人员的犯罪记录。但这一权利并非无限制的，而是需要符合法律、行政法规关于从业禁止的规定。具体来说，单位在申请查询时，需要向住所地公安机关提出申请，并提交一系列相关证件和材料，包括单位介绍信、经办人有效身份证明、《查询申请表》以及被查询对象系单位在职人员、拟招录人员的有关材料或者被查询对象的授权材料。

然而，当涉及到查询家长（或非单位在职、拟招录人员）的无犯罪记录时，情况就有所不同了。除非家长本人同意并授权单位进行查询，或者存在法律、行政法规明确规定的特定情形（如某些特定岗位的从业要求），否则单位通常是无权直接查询家长的无犯罪记录的。

以天津市为例，该市开通了“单位查询无犯罪记录证明”的线上办理功能，但这主要是为了便利用人单位查询本单位员工及拟招录员工的犯罪记录。对于非单位员工或拟招录人员，如家长，单位并不能直接通过这一功能进行查询。

综上所述，单位在一般情况下是无权直接查询家长的无犯罪记录的。如果单位有此类需求，应当首先获得家长的明确同意和授权，或者确保查询行为符合法律、行政法规的明确规定。