结论：劳动合同到期两个月未签订，公司辞退员工时，第一个月通常是需要支付双倍工资赔偿的（若符合双倍工资支付条件），但具体是否支付及支付时长需根据实际情况判断，并非绝对“第一个月不用双倍赔偿”。以下从不同角度详细分析：
一、双倍工资赔偿的法律依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定同样适用于劳动合同到期后，用人单位未及时与劳动者续签劳动合同的情况。
二、具体情境分析
劳动合同到期未续签，但继续用工：
- 如果劳动合同到期后，公司未与员工续签劳动合同，但继续用工，那么从劳动合同到期后的第二个月起，公司应当向员工支付双倍工资，直至双方签订新的劳动合同或用工关系终止。
- 举例：假设劳动合同于2023年1月1日到期，公司未与员工续签，但继续用工至2023年3月1日。那么，从2023年2月1日起至2023年3月1日，公司应当向员工支付双倍工资。
公司辞退员工的时间点：
- 如果公司在劳动合同到期后两个月内（即未超过一年）辞退员工，且未与员工续签劳动合同，那么公司可能需要支付双倍工资的时间段取决于辞退的具体时间。
- 若辞退发生在第一个月内（即劳动合同到期后的第一个月内）：理论上，此时尚未满足支付双倍工资的条件（因为需要超过一个月未签合同），但实际操作中，若公司能证明辞退原因合法（如员工严重违反公司规章制度等），则可能无需支付双倍工资。然而，若辞退原因不合法，员工可能还有权要求其他赔偿（如经济补偿金等）。
- 若辞退发生在第二个月或之后：则公司需要支付从劳动合同到期后第二个月起至辞退之日止的双倍工资（若符合双倍工资支付条件）。
特殊情况：
- 如果公司能够证明未续签劳动合同是由于员工的原因（如员工拒绝续签、员工提出离职等），则公司可能无需支付双倍工资。
- 另外，如果双方已经形成了无固定期限劳动合同的关系（如员工在公司连续工作满十年等），则公司更无权以未续签劳动合同为由辞退员工而不支付相应赔偿。
三、法律建议
对于员工：
- 如果劳动合同到期后公司未与你续签但继续用工，你应及时与公司沟通并要求签订新的劳动合同。
- 如果公司无故辞退你且未支付双倍工资或其他赔偿，你可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁以维护自己的合法权益。
对于公司：
- 公司应在劳动合同到期前及时与员工沟通并续签劳动合同，以避免不必要的法律风险。
- 如果因特殊原因无法及时续签劳动合同，公司应与员工协商并签订临时协议或补充协议以明确双方的权利和义务。
- 在辞退员工时，公司应确保辞退原因合法且程序合规，以避免支付不必要的赔偿。
总结：劳动合同到期两个月未签订，公司辞退员工时是否需要支付第一个月的双倍工资赔偿，取决于多种因素包括辞退的时间点、未续签的原因以及双方的具体行为等。因此，在处理此类问题时，建议双方都应咨询专业律师以获取更具体的法律建议。如果你有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。