盗窃价值1000元以下自行车且盗窃者有精神病史的，需根据盗窃者的精神状态及行为时的辨认、控制能力，分情况处理：

1. 若盗窃者行为时无刑事责任能力：

   • 根据《中华人民共和国刑法》第十八条，精神病人在不能辨认或者不能控制自己行为的时候造成危害结果，经法定程序鉴定确认的，不负刑事责任。因此，若盗窃者经鉴定在盗窃时确实无法辨认或控制自己的行为，则不构成盗窃罪，不负刑事责任。
   • 但根据同法条，应当责令其家属或者监护人严加看管和医疗；在必要的时候，由政府强制医疗。这意味着，尽管盗窃者不负刑事责任，但其家属或监护人需承担起监护责任，防止其再次危害社会。

2. 若盗窃者行为时具有部分刑事责任能力：

   • 同样根据《中华人民共和国刑法》第十八条，尚未完全丧失辨认或者控制自己行为能力的精神病人犯罪的，应当负刑事责任，但是可以从轻或者减轻处罚。因此，若盗窃者经鉴定在盗窃时具有部分辨认或控制能力，则构成盗窃罪，但可从轻或减轻处罚。
   • 在具体量刑时，法院会综合考虑盗窃者的精神状态、盗窃情节、社会危害程度等因素，作出公正的判决。

3. 若盗窃者行为时具有完全刑事责任能力：

   • 若盗窃者虽有精神病史，但在盗窃时精神正常，具有完全的辨认和控制能力，则构成盗窃罪，需承担相应的刑事责任。
   • 根据《中华人民共和国刑法》第二百六十四条，盗窃公私财物，数额较大的，或者多次盗窃、入户盗窃、携带凶器盗窃、扒窃的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金。由于盗窃的自行车价值1000元以下，可能不构成“数额较大”的标准，但具体还需根据当地的经济水平和司法实践来判断。若不构成数额较大，则可能根据具体情节，如是否为多次盗窃等，来决定是否追究刑事责任或给予行政处罚。

额外建议：

• 对于此类案件，建议及时报警，由公安机关进行调查取证，并委托专业机构对盗窃者的精神状态进行鉴定。
• 若盗窃者确实患有精神病，其家属或监护人应加强对其的监护和管理，防止其再次实施危害社会的行为。
• 若您作为受害者，有权要求盗窃者或其家属、监护人赔偿因盗窃行为给您造成的损失。