偷一千元的自行车被抓后，处理流程与可能的法律后果主要依据盗窃行为的性质、情节以及相关法律法规来确定。以下是对此问题的详细解答：
一、法律性质界定
构成盗窃罪：
- 如果被盗自行车价值一千元以上，且行为人实施了秘密窃取的行为，那么这一行为就构成了盗窃罪。
- 盗窃罪侵犯的是公私财物的所有权，且行为人需具有非法占有的目的。
不构成犯罪：
- 如果行为虽然实施了盗窃，但自行车价值未达到法律规定的“数额较大”标准（一般为一千元以上），或者存在其他不构成犯罪的情形，那么这一行为将不构成盗窃罪。
二、法律后果
构成盗窃罪的法律后果：
- 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，盗窃公私财物，数额较大的，一般判处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金。
- 如果数额巨大或者有其他严重情节，将处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金。
- 在实际判决中，法院会综合考虑犯罪情节、认罪态度、退赔情况等因素进行量刑。
不构成犯罪的法律后果：
- 如果行为不构成犯罪，那么行为人可能会受到行政处罚，如处5日以上10日以下拘留，并可以并处500元以下罚款。
- 情节较重的，处10日以上15日以下拘留，并可以并处1000元以下罚款。
三、处理流程
报案与调查：
- 被害人发现自行车被盗后，应及时向当地公安机关报案。
- 公安机关将进行调查取证，包括询问被害人、现场勘查、调取监控等。
抓捕与审查：
- 如果公安机关发现犯罪嫌疑人，将进行抓捕。
- 抓捕后，公安机关将对犯罪嫌疑人进行审查，包括询问、搜查等。
法律程序：
- 如果构成犯罪，公安机关将案件移送检察机关审查起诉。
- 检察机关审查后，如果认为符合起诉条件，将向法院提起公诉。
- 法院将依法进行审理，并作出判决。
执行与改造：
- 如果被判刑，犯罪嫌疑人将被送往监狱执行刑罚。
- 在执行过程中，犯罪嫌疑人将接受改造和教育，以期重新融入社会。
综上所述，偷一千元的自行车被抓后，处理流程与可能的法律后果主要取决于盗窃行为的性质、情节以及相关法律法规的规定。因此，建议广大市民要遵守法律法规，不要实施盗窃等违法行为。