在开庭时提出增加抚养权的请求是可以的，但具体能否得到法院的支持，需根据案件具体情况和法律规定来判断。以下从不同角度为你详细分析：
一、法律程序角度
在离婚诉讼或抚养权纠纷诉讼的开庭过程中，当事人有权提出新的诉讼请求或变更原有的诉讼请求，这包括增加抚养权的请求。然而，这一请求的提出需要遵循一定的法律程序。通常，当事人应在举证期限届满前向法院提出增加诉讼请求的申请，并附上相关证据材料。如果开庭时才提出，虽然法院可能会根据案件情况予以考虑，但可能会要求当事人补充相关材料或进行进一步的举证，甚至可能因此影响案件的审理进度。
二、法律实体角度
抚养权的确定原则：
- 抚养权的确定主要基于子女的最佳利益原则，即法院会综合考虑子女的年龄、性别、健康状况、成长环境、父母的经济状况、教育背景、道德品质以及与子女的感情联系等因素，来决定抚养权的归属。
增加抚养权的条件：
- 如果你希望在开庭时增加抚养权的请求，你需要证明你具备抚养子女的条件和能力，且增加抚养权对子女的成长更为有利。这可能需要你提供相关的证据材料，如你的经济状况证明、教育背景证明、与子女的感情联系证明等。
- 同时，你还需要考虑对方当事人的意见和子女的意愿（如果子女已具备一定年龄和认知能力）。如果对方当事人反对你增加抚养权的请求，或者子女明确表示不愿意由你抚养，那么法院在判决时可能会予以考虑。
三、实际操作建议
提前准备：
- 如果你打算在开庭时提出增加抚养权的请求，建议你提前准备好相关的证据材料，并咨询专业律师的意见。律师可以帮助你评估案件的胜诉可能性，并为你提供具体的法律建议和操作方案。
与对方当事人沟通：
- 在提出增加抚养权的请求前，你可以尝试与对方当事人进行沟通，了解对方的意见和态度。如果对方同意你增加抚养权的请求，那么你们可以协商达成一致意见，并提交给法院进行确认。这有助于减少诉讼成本和时间，同时也有利于维护子女的利益。
关注子女的意愿：
- 如果子女已具备一定年龄和认知能力，他们的意愿对法院判决抚养权归属具有重要影响。因此，在提出增加抚养权的请求时，你需要关注子女的意愿，并尽可能提供子女愿意由你抚养的证据材料。
总结来说，虽然开庭时提出增加抚养权的请求是可以的，但具体能否得到法院的支持需根据案件具体情况和法律规定来判断。因此，我建议你提前准备好相关证据材料，并咨询专业律师的意见，以便更好地维护自己和子女的权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。