在抚养权官司中，一般不可以当庭随意增加其他诉求，但在特定情况下，经过法院允许，可以增加与本案有关的诉讼请求。以下是对这一问题的详细分析：
一、一般原则：诉讼请求的稳定性
在诉讼过程中，诉讼请求的稳定性是确保诉讼程序顺利进行和保障双方当事人合法权益的重要原则。因此，原告在提起诉讼时，应当明确、具体地提出自己的诉讼请求，并在诉讼过程中保持相对稳定。如果原告在庭审过程中随意增加诉讼请求，可能会导致诉讼程序的混乱，增加法院的审理难度，也可能对被告的应诉准备造成不利影响。
二、特定情况下的增加诉求
尽管诉讼请求应当保持稳定，但在某些特定情况下，原告确实需要在庭审过程中增加诉讼请求的，可以向法院提出申请。这些特定情况通常包括：
与本案有直接关联的诉求：如果原告在庭审过程中发现，除了原本提出的抚养权诉求外，还存在与本案有直接关联的其他诉求，如要求被告支付抚养费、教育费等，且这些诉求的增加不会导致诉讼程序的严重混乱或对被告造成不公平的负担，那么原告可以向法院提出增加诉讼请求的申请。
基于新事实或新证据的诉求：如果在庭审过程中出现了新的事实或证据，这些事实或证据对原告的诉讼请求有直接影响，且原告之前未能预见或无法获取这些事实或证据，那么原告也可以向法院提出增加诉讼请求的申请。
三、增加诉求的程序要求
如果原告需要在庭审过程中增加诉讼请求，应当遵循以下程序要求：
向法院提出书面申请：原告应当向法院提交书面申请，明确说明增加诉讼请求的具体内容、理由和依据。
获得法院允许：法院在收到原告的申请后，会对申请进行审查。如果法院认为增加的诉讼请求与本案有关联，且不会导致诉讼程序的严重混乱或对被告造成不公平的负担，那么法院会允许原告增加诉讼请求。
重新指定举证期限和答辩期限：如果法院允许原告增加诉讼请求，那么通常会重新指定举证期限和答辩期限，以确保双方当事人有足够的时间进行应诉准备。
四、法律后果与风险提示
如果未经法院允许擅自增加诉求：这可能会被视为违反诉讼程序的行为，法院可能会对原告进行训诫或罚款，甚至可能驳回原告增加的诉讼请求。
如果增加的诉讼请求与本案无关联或导致诉讼程序混乱：法院可能会拒绝允许原告增加诉讼请求，或者要求原告另行提起诉讼。
建议：在提起抚养权官司前，原告应当充分准备，明确自己的诉讼请求，并尽可能收集相关证据。如果在庭审过程中确实需要增加诉讼请求，应当及时向法院提出申请，并遵循法院的程序要求。如果你有抚养权或其他婚姻家庭方面的法律问题，可以直接向我咨询。