结论：镇政府欠工程款，一般不可以直接起诉市政府，但存在特殊情况。以下从不同角度进行分析：
一、一般情况：合同相对性原则
在建设工程合同纠纷中，通常遵循合同相对性原则。这意味着，合同的权利和义务主要约束合同的双方当事人。如果工程款纠纷是发生在承包商和镇政府之间，那么根据合同的相对性，承包商应当直接向镇政府主张权利，而不是市政府。因为市政府并非该建设工程的合同当事人，没有直接支付工程款的义务。
二、特殊情况：市政府作为责任主体或担保人
市政府作为责任主体：
- 如果在特定情况下，市政府被法律或行政规定明确为支付工程款的责任主体（例如，某些政府投资项目或特定政策下的项目），那么承包商可以直接起诉市政府。但这种情况较为罕见，且需要具体的法律或政策依据。
市政府作为担保人：
- 如果市政府在镇政府与承包商之间的合同中作为担保人，且担保条款明确约定了市政府在镇政府不履行支付义务时的担保责任，那么承包商在镇政府不支付工程款时，可以依据担保条款起诉市政府。但这种情况同样需要具体的合同条款和法律支持。
三、法律建议与行动指南
审查合同条款：
- 承包商应首先仔细审查与镇政府签订的建设工程合同，明确合同中的权利义务关系、支付条款以及可能的担保条款。
收集证据：
- 承包商应收集所有与工程款支付相关的证据，包括合同、发票、付款记录、沟通记录等，以证明镇政府未履行支付义务。
咨询专业律师：
- 在准备起诉前，承包商应咨询专业律师，评估案件的胜诉可能性以及可能的法律后果。律师可以根据具体情况提供法律意见和诉讼策略。
考虑行政途径：
- 在某些情况下，承包商也可以考虑通过行政途径解决纠纷，如向镇政府的上级行政机关（如县政府）提出申诉或请求调解。
起诉前的准备：
- 如果决定起诉，承包商应准备好起诉状、证据材料等，并按照法院的要求提交。同时，应关注诉讼时效问题，确保在法定时效内提起诉讼。
进一步思考：在处理此类工程款纠纷时，承包商应充分考虑各种因素，包括合同条款、证据收集、法律程序等。同时，也应关注政府部门的政策变化和行政指导，以便更好地维护自身权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。