结论：私立医院在您工作六年后提出解除劳动关系且未给予赔偿的行为，可能违反了《劳动合同法》的相关规定。您有权要求医院支付经济补偿金，具体数额需根据您的工资水平和工作年限来确定。

法律背景与建议：

1. 经济补偿金的支付条件：

   • 根据《劳动合同法》第四十六条，用人单位在解除劳动合同时，除非是因为劳动者严重违反规章制度、被依法追究刑事责任等法定情形，否则应当向劳动者支付经济补偿金。
   • 在您的情况下，私立医院未给出合法理由即解除劳动关系，且未提及赔偿，这很可能构成了违法解除，您有权要求医院支付经济补偿金。

2. 经济补偿金的计算方式：

   • 经济补偿金的标准按照劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
   • 假设您的月工资为W元，且您在医院工作了六年，那么您应得的经济补偿金为6W元（6年×1年/年×W元/月）。如果医院未提前三十日以书面形式通知您解除劳动合同，您还有权要求医院额外支付一个月工资作为代通知金。

3. 维权途径：

   • 协商：首先，您可以尝试与医院进行协商，要求其按照法律规定支付经济补偿金。
   • 调解：如果协商无果，您可以向当地的劳动争议调解组织申请调解，寻求第三方协助解决纠纷。
   • 仲裁：若调解不成，您可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交相关证据（如劳动合同、工资单、解除劳动关系通知等）来支持您的诉求。
   • 诉讼：对仲裁裁决不服的，您还可以向人民法院提起诉讼，通过司法程序来维护自己的合法权益。

4. 注意事项：

   • 在整个维权过程中，请务必保留好所有与劳动关系相关的证据，如劳动合同、工资单、工作证、解除劳动关系通知等，这些证据将对您主张权利至关重要。
   • 同时，注意关注劳动争议仲裁和诉讼的时效问题，以免因超过时效而丧失维权机会。

可能法律后果：

• 如果医院拒绝支付经济补偿金，且您通过法律途径成功维权，医院将面临支付经济补偿金及可能的其他法律责任（如加付赔偿金等）。
• 如果医院的行为构成违法解除劳动合同，且给您造成了其他损失（如失业期间的收入损失等），您还可以要求医院承担相应的赔偿责任。

进一步行动建议：

• 鉴于您目前的情况，我建议您首先与医院进行友好协商，明确表达您的诉求和法律依据。
• 如果协商无果，您可以考虑向当地的劳动争议调解组织或劳动争议仲裁委员会寻求帮助。
• 在整个过程中，如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询，我将竭诚为您提供专业的法律服务。