关于未签订设计合同但客户已支付定金，后客户单方违约的相关规定，主要可以从以下几个方面进行分析：
定金性质与法律效力：
- 定金通常被视为一种担保方式，用于确保合同的履行。在未签订正式设计合同的情况下，如果双方已经就设计服务的主要条款（如服务内容、价格、交付时间等）达成口头或书面协议，并且客户已经支付了定金，那么这笔定金在法律上可能被视为对双方达成合意的确认，并具有一定的担保作用。
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，定金合同自实际交付定金时成立。因此，即使未签订书面设计合同，定金合同的成立并不受影响。
客户单方违约的法律后果：
- 如果客户在支付定金后单方违约，不再继续履行设计服务合同（无论是否已签订书面合同），根据定金罚则，客户通常无权要求返还定金。这是因为定金的作用之一就是担保合同的履行，客户违约即意味着其放弃了要求返还定金的权利。
- 然而，如果设计服务提供者（即您或您的公司）也存在违约行为，如未能按照约定提供设计服务或提供的服务不符合约定标准，那么客户可能有权要求返还部分或全部定金，甚至可能要求赔偿损失。
未签订书面合同的影响：
- 未签订书面设计合同可能会增加双方在争议解决时的难度。书面合同能够更清晰地明确双方的权利和义务，减少误解和争议的可能性。
- 在未签订书面合同的情况下，如果双方对设计服务的内容、价格、交付时间等关键条款存在争议，可能需要依赖其他证据（如口头协议、电子邮件、短信等）来证明双方的真实意思表示。
建议与措施：
- 完善合同签订流程：为了避免类似纠纷的发生，建议在设计服务开始前与客户签订书面合同，明确双方的权利和义务。
- 保留相关证据：在未签订书面合同的情况下，务必保留好与客户沟通的所有记录（如电子邮件、短信、微信聊天记录等），以及客户支付定金的凭证等，以备不时之需。
- 协商解决：如果客户单方违约，首先尝试与客户进行友好协商，寻求双方都能接受的解决方案。
- 法律途径：如果协商无果，且您认为自己的权益受到了侵害，可以考虑通过法律途径解决争议，如向法院提起诉讼或申请仲裁。
总结来说，未签订设计合同但客户已支付定金后单方违约的情况下，定金通常不予返还。但具体法律后果还需根据双方的实际行为、约定以及相关法律法规进行综合判断。如果您或您的公司遇到类似情况，建议及时咨询专业律师（即我本人，牟德栋律师，专注于公司事务、合同纠纷领域），以便更好地维护自己的合法权益。