针对您提出的“劳务派遣服务到期后继续工作怎么办”的问题，这是一个涉及劳务派遣单位、用工单位和劳动者三方权益的复杂法律问题。以下是我为您提供的详细解答：
一、法律关系的认定
在劳务派遣合同到期后，若未续签但劳动者继续在用工单位工作，且用工单位未提出异议，根据相关法律法规，这通常被视为双方默认按原合同条件继续履行合同，即形成了事实劳动关系。然而，这种默认续订并不等同于正式的书面合同续订，因此存在一定的法律风险。
二、劳动者的权益与诉求
双倍工资赔偿：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，若劳务派遣单位在合同到期后超过一个月不满一年未与劳动者续签书面合同，劳动者有权要求支付双倍工资。这一赔偿的起算时间为合同到期满一个月的次日，截止至补签合同前一日。
无固定期限劳动合同：
- 在满足特定条件（如连续工作满十年或连续订立二次固定期限合同）的情况下，劳动者有权要求签订无固定期限劳动合同。若劳务派遣单位违反规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同，自应当订立无固定期限劳动合同之日起，劳动者同样有权要求支付双倍工资。
经济补偿：
- 若劳务派遣单位决定不续签合同，但劳动者继续在用工单位工作，劳务派遣单位应按劳动者的工作年限支付经济补偿金。
三、劳务派遣单位和用工单位的责任与义务
劳务派遣单位的责任：
- 劳务派遣单位应及时与劳动者续签劳务派遣合同，明确双方的权利义务。
- 在合同未续签期间，劳务派遣单位应按原待遇支付劳动报酬，并缴纳社会保险费用，提供相应福利待遇。
- 若因未及时续签合同引发争议，劳务派遣单位需承担相应的法律责任，包括支付双倍工资、经济补偿金等。
用工单位的责任：
- 用工单位应遵守劳务派遣相关规定，对劳动者负有劳动安全卫生管理、提供劳动条件等方面的义务。
- 用工单位不能随意辞退继续工作的劳动者，终止用工需符合法定情形并通过劳务派遣单位依法操作。
- 若因用工单位行为导致劳动者权益受损，用工单位需承担相应的赔偿责任。
四、应对措施与建议
及时沟通与协商：
- 劳务派遣单位、用工单位和劳动者应在合同到期前后及时沟通续签事宜，明确各自的权利义务，以避免潜在的法律风险。
依法补签合同：
- 劳务派遣单位应尽快与劳动者补签劳务派遣合同，确保合同期限符合法律规定，并明确双方的权利义务。
依法维权：
- 劳动者应了解自己的法律权益，如遇违法行为（如未支付双倍工资、未缴纳社会保险等），可依法向劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁。
合规操作：
- 劳务派遣单位和用工单位应严格遵守相关法律法规，确保合同续签流程的合法性与规范性，避免不必要的法律纠纷。
综上所述，劳务派遣合同到期后继续在用工单位工作是一个涉及多方权益和法律关系的复杂问题。为了确保各方的合法权益得到有效维护，建议各方在合同到期前后加强沟通、明确权利义务，并依法行事。