履行职责申请回复的法律依据主要来源于行政程序法和相关行政法规中关于行政机关履行职责、处理申请及回复义务的规定。以下从几个关键角度为您详细阐述：

1. 《中华人民共和国行政许可法》的相关规定：

   • 虽然该法主要规范行政许可行为，但其中也隐含了行政机关对申请的处理和回复义务。例如，行政机关在收到申请后，应在法定期限内审查并作出决定，这一决定（包括准予许可、不予许可或要求补充材料等）本质上就是对申请的一种回复。
   • 具体条款如第三十二条：“行政机关对申请人提出的行政许可申请，应当根据下列情况分别作出处理：……（四）申请材料不齐全或者不符合法定形式的，应当当场或者在五日内一次告知申请人需要补正的全部内容，逾期不告知的，自收到申请材料之日起即为受理；……”。这体现了行政机关对申请处理的及时性和回复义务。

2. 《中华人民共和国行政复议法》的相关规定：

   • 当公民、法人或其他组织认为行政机关未履行法定职责时，可以申请行政复议。行政复议机关在受理复议申请后，会审查行政机关是否履行了相应职责，并作出复议决定。这一过程中，行政机关的回复（或未回复）是复议机关审查的重要内容之一。
   • 例如，该法第二十三条规定：“行政复议机关负责法制工作的机构应当自行政复议申请受理之日起七日内，将行政复议申请书副本或者行政复议申请笔录复印件发送被申请人。被申请人应当自收到申请书副本或者申请笔录复印件之日起十日内，提出书面答复，并提交当初作出具体行政行为的证据、依据和其他有关材料”。这明确规定了行政机关在收到复议申请后的回复义务。

3. 《中华人民共和国政府信息公开条例》的相关规定：

   • 虽然该条例主要规范政府信息公开行为，但其中也涉及了行政机关对信息公开申请的回复义务。当公民、法人或其他组织申请获取政府信息时，行政机关应在法定期限内作出答复，告知申请人是否提供信息、提供信息的方式和时间等。
   • 例如，该条例第三十三条规定：“行政机关收到政府信息公开申请，能够当场答复的，应当当场予以答复。行政机关不能当场答复的，应当自收到申请之日起20个工作日内予以答复；需要延长答复期限的，应当经政府信息公开工作机构负责人同意并告知申请人，延长的期限最长不得超过20个工作日”。这明确规定了行政机关对信息公开申请的回复时限和方式。

4. 一般行政程序法原则：

   • 除了上述具体法规外，行政程序法的一般原则也要求行政机关在履行职责过程中保持透明度和回应性。这包括及时回复申请、说明理由、提供救济途径等。这些原则虽然可能未直接以法律条文形式出现，但它们是行政法的基本理念和价值追求，对行政机关的行为具有指导作用。

法律建议：

• 如果您作为申请人向行政机关提出了履行职责的申请，但未收到回复或回复不满意，您可以首先查阅相关法律法规，了解行政机关的回复义务和时限。
• 如果行政机关未履行回复义务或回复不符合法律规定，您可以考虑通过行政复议或行政诉讼等途径维护自己的合法权益。
• 在申请过程中，建议您保留好相关证据（如申请书、邮寄凭证、回复记录等），以便在需要时证明自己的申请行为和行政机关的回复情况。

如有任何进一步的问题或需要具体的法律帮助，请随时向我咨询。