行政机关对申请人邮寄的履职申请应予回复。以下是对此结论的详细解释和法律依据：

1. 行政机关的回复义务：

   • 行政机关作为公权力机关，有义务对公民的申请进行回应。这是行政机关履行其职责、保障公民权益的重要体现。
   • 当申请人通过邮寄方式向行政机关提出履职申请时，行政机关应当对该申请进行审查，并根据实际情况作出相应的回复。

2. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国行政诉讼法》及相关司法解释，行政机关在收到公民的履职申请后，应当在法定期限内（如《行政诉讼法》规定的“行政机关在接到申请之日起两个月内不履行职责的，公民、法人或者其他组织可以向人民法院提起诉讼”，但此处的两个月并非回复期限，而是提起诉讼的期限，实际回复期限应根据具体行政法律法规或政府规定确定）进行审查，并作出是否履职的决定。
   • 如果行政机关决定不予履职，也应当书面告知申请人，并说明理由。这是行政机关依法行政、保障公民知情权的重要要求。

3. 实际操作：

   • 在实际操作中，行政机关在收到履职申请后，通常会进行登记、审查，并根据申请内容作出相应的处理决定。
   • 如果申请符合法律法规要求，行政机关会依法履行职责；如果申请不符合要求或存在其他无法履职的情况，行政机关也会书面回复申请人，并解释原因。

综上所述，行政机关对申请人邮寄的履职申请应予回复，这是行政机关的法定义务，也是保障公民权益的重要措施。如果行政机关未能在法定期限内作出回复或处理决定，申请人可以依法向相关部门投诉或提起行政诉讼以维护自己的合法权益。