结论：在抖音上买茶叶商家给赠品不退是否违法，需根据具体情况判断。若赠品属于合同的一部分且商家未履行相关义务，则可能构成违约或违法；若赠品为商家自愿提供且未设定退还条件，则商家不退赠品一般不违法。
分析：
赠品作为合同的一部分：
- 在购买茶叶的过程中，如果商家明确将赠品作为销售合同的一部分，即赠品是购买茶叶的附加条件或优惠，那么商家就有义务按照合同约定提供赠品，并在消费者要求退还时给予配合。
- 如果商家拒绝退还赠品，且该赠品属于合同约定的范畴，那么商家的行为可能构成违约，消费者有权要求商家履行合同义务或承担违约责任。
赠品为商家自愿提供：
- 如果赠品是商家自愿提供的，且并未作为销售合同的一部分进行约定，那么商家在赠品退还方面可能享有更大的自主权。
- 在这种情况下，如果商家明确表示赠品不退，且消费者在购买时并未对此提出异议，那么商家不退赠品的行为一般不构成违法。但商家应当确保赠品的提供不违反相关法律法规，如不涉及虚假宣传、欺诈等行为。
消费者权益保护：
- 无论赠品是否作为合同的一部分，商家都应当尊重消费者的合法权益。如果商家在提供赠品时存在欺诈、虚假宣传等行为，或者赠品存在质量问题，消费者都有权要求商家承担相应的法律责任。
- 消费者在购买商品时，也应当仔细阅读商家的销售条款和赠品政策，了解自己的权益和义务，以便在发生纠纷时能够维护自己的合法权益。
建议：
- 如果消费者认为商家不退赠品的行为构成违约或违法，可以先与商家进行协商，寻求解决方案。
- 如果协商无果，消费者可以向相关消费者权益保护机构投诉，或者寻求法律途径解决纠纷。
- 在购买商品时，消费者应当保留好相关证据，如购买合同、赠品政策、支付凭证等，以便在发生纠纷时能够证明自己的权益。
法律背景：
- 根据《中华人民共和国合同法》的相关规定，合同是双方意思表示一致的协议，具有法律约束力。如果商家将赠品作为合同的一部分进行约定，那么商家就有义务按照合同约定履行义务。
- 根据《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定，消费者在购买商品时享有知情权、选择权、公平交易权等权益。商家应当尊重消费者的合法权益，不得进行欺诈、虚假宣传等行为。