关于员工住宿多开发票后公司起诉的时间问题，需分情况讨论，核心结论如下：

1. 若涉及刑事犯罪（如虚开发票罪）
   根据《刑法》第八十七条，法定最高刑为不满五年有期徒刑的，追诉时效为五年。若虚开发票金额较大（通常指税款数额在1万元以上），可能构成虚开发票罪，公司作为受害方可在此期限内报案，由公安机关立案侦查。但需注意：

   • 追诉时效从犯罪之日起计算；若犯罪行为有连续或继续状态，从行为终了之日起计算。
     
   • 若公安机关已立案，则不受追诉时效限制，可随时追诉。

2. 若涉及民事纠纷（如不当得利返还）
   根据《民法典》第一百八十八条，民事诉讼时效为三年，自公司知道或应当知道权利受损之日起计算。例如：

   • 公司发现员工多开发票并造成损失的日期为“知道权利受损日”；
     
   • 若员工通过多开发票获取利益（如报销后私吞款项），公司可主张返还，但需在三年内起诉。

3. 若涉及行政处罚（如税务机关查处）
   税务机关对虚开发票行为的查处不受公司起诉时间限制，但需在《税收征收管理法》规定的期限内作出处罚决定（通常为五年内发现违法行为）。公司若需配合税务调查，应及时提供证据。

关键提醒：

• 公司需保留员工多开发票的证据（如发票、报销记录、沟通记录等），以证明其主张；
  
• 若涉及跨部门协作（如财务、法务、税务），建议内部先行调查，明确责任主体后再决定是否起诉；
  
• 起诉时间可能因具体案情（如金额、主观恶意、是否首次违规等）有所调整，建议结合实际情况评估。
  

如有进一步细节需分析，可直接向我咨询。