针对行政机关对当事人信访诉求给予支持，但被督促单位拒不执行的情况，后续处理方式主要有以下几种：

1. 行政机关进一步采取措施：

   • 再次督促：行政机关可以再次向被督促单位发出正式的书面通知，明确要求其执行相关决定或诉求，并设定合理的执行期限。
   • 行政处罚：如果被督促单位在合理期限内仍未执行，行政机关可以根据相关法律法规，对其处以罚款、警告等行政处罚，以促使其履行义务。
   • 申请法院强制执行：在特定情况下，如被督促单位拒不执行行政机关作出的具有法律效力的决定或命令，行政机关可以向人民法院申请强制执行。法院将依法审查并作出裁定，对被督促单位进行强制执行。

2. 当事人寻求法律救济：

   • 提起行政诉讼：如果当事人认为行政机关的支持决定或被督促单位的行为侵犯了其合法权益，可以向人民法院提起行政诉讼，要求法院判决被督促单位履行义务或赔偿损失。
   • 申请行政复议：在特定情况下，当事人也可以选择向上一级行政机关申请行政复议，请求复议机关对原行政机关的决定进行审查并作出裁决。

3. 借助社会监督力量：

   • 公开曝光：行政机关或当事人可以通过媒体、网络等渠道公开曝光被督促单位的拒不执行行为，形成社会舆论压力，促使其履行义务。
   • 引入第三方监督：可以邀请人大代表、政协委员、社会团体或公众代表等第三方对被督促单位进行监督，推动其执行相关决定或诉求。

在处理此类情况时，需要注意以下几点：

• 确保行政机关的决定或命令具有法律效力：只有具有法律效力的决定或命令才能作为强制执行或提起诉讼的依据。
• 遵循法定程序：无论是行政机关采取措施还是当事人寻求法律救济，都需要严格遵循法定程序，确保处理过程的合法性和公正性。
• 保护当事人合法权益：在处理过程中，应充分保护当事人的合法权益，避免对其造成不必要的损失或伤害。

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