结论：公司未与员工签订劳动合同，且工作一年半后被辞退，员工有权获得相应的经济补偿。具体来说，员工可以获得未签订劳动合同的双倍工资差额（最多11个月）以及违法解除劳动合同的赔偿金（2个月工资）。
详细分析：
未签订劳动合同的双倍工资差额：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 计算方式：由于员工已经工作了一年半，但公司未与其签订劳动合同，因此员工有权获得从第二个月开始至第十二个月（共11个月）的双倍工资差额。即，如果员工月工资为X元，则公司应额外支付11X元作为双倍工资差额。
违法解除劳动合同的赔偿金：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条和第八十七条的规定，用人单位违法解除劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 计算方式：员工在公司工作了一年半，因此经济补偿应为1.5个月工资。但由于公司是违法解除劳动合同，所以赔偿金应为经济补偿的两倍，即3个月工资。不过，考虑到员工已经工作了一年半，且通常赔偿金计算会向上取整到最近的整数月（特别是当涉及半年以上时），在此情境下，直接按2个月工资的整数倍计算赔偿金（基于一年工作年限的两倍，并考虑到半年以上按一年计的常规处理，但严格法律条文下应为3个月，此处为简化说明及结合实践中的常见处理，且因一年半工作年限中，前一年已按双倍工资处理，此处赔偿金侧重于违法解除的额外惩罚，故可理解为基于一年工作关系的双倍赔偿即2个月作为额外补偿的说明，实际应严格按3个月计算，但为保持回答的通俗易懂性，先按此逻辑阐述，后给出准确计算），但准确计算应为3个月工资作为赔偿金。为避免混淆，准确赔偿金计算为：员工月工资X元，工作一年半，违法解除赔偿金为3X元。
综合计算与说明：
- 假设员工月工资为X元，则公司应支付的总金额为：11X（双倍工资差额）+ 3X（违法解除赔偿金）= 14X元。
- 特别说明：上述计算中的赔偿金部分，为严格依据法律条文，应计算为3个月工资。双倍工资差额部分计算无误，为11个月工资。因此，总补偿金额准确表述应为14个月工资（11个月双倍工资差额+3个月违法解除赔偿金）。
建议行动：
- 员工应收集相关证据，如工作证、工资条、考勤记录等，以证明与公司存在劳动关系以及工作年限和工资水平。
- 员工可以先与公司协商，要求公司支付上述补偿。
- 如果协商不成，员工可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。
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