结论：判决书下来后，双方又协商签订了不给抚养费的协议书，该协议书的效力需分情况讨论，一般情况下，该协议可能因违反法律强制性规定而无效，但在特定条件下可能被认可或部分认可。

分析如下：

1. 协议书与判决书的冲突：

   • 判决书是法院根据法律规定和案件事实作出的具有法律效力的文书，一旦生效，即具有强制执行力。
   • 协议书是双方自愿达成的合意，但其内容不得违反法律的强制性规定。在抚养费问题上，法律明确规定了父母有抚养子女的义务，这是法定义务，不能通过协议免除。

2. 协议书的法律效力：

   • 无效情形：如果协议书的内容完全免除了支付抚养费的义务，且没有考虑到子女的实际需要和支付方的经济能力，那么该协议很可能因违反法律的强制性规定（如《民法典》中关于父母抚养子女义务的规定）而被认定为无效。
   • 有效或部分有效情形：如果协议书是在考虑了子女的实际需要、支付方的经济能力以及双方协商一致的基础上达成的，且协议内容并未完全免除支付抚养费的义务，而是对支付方式、金额或时间等进行了调整，那么该协议可能被认定为有效或部分有效。但这种情况较为特殊，需要具体分析协议内容。

3. 实际操作中的建议：

   • 协商与调解：如果双方确实希望调整抚养费的支付方式或金额，建议首先通过协商或调解的方式达成一致，并尽量确保协议内容合法、合理且符合子女的实际需要。
   • 法律程序：如果协商或调解无果，或者一方对协议内容有异议，可以通过法律程序（如申请法院变更抚养费）来解决争议。在此过程中，法院会综合考虑子女的实际需要、支付方的经济能力以及双方的具体情况来作出判决。

4. 可能面临的法律后果：

   • 如果协议书被认定为无效，那么支付方仍需按照判决书或法律规定的标准支付抚养费。
   • 如果协议书被认定为有效或部分有效，但支付方未按照协议内容履行义务，另一方仍有权通过法律程序追究支付方的法律责任。

进一步思考：在处理抚养费问题时，应始终将子女的利益放在首位。双方应本着对子女负责的态度进行协商和调解，尽量达成一个既符合法律规定又符合子女实际需要的协议。如果无法达成一致，应及时寻求法律帮助，通过法律程序来解决争议。

最后，如果你在处理抚养费问题时遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。