结论：工伤发生一个月后，您仍然可以向单位索赔，但具体流程和责任承担会因单位是否及时申请工伤认定而有所不同。

一、单位及时申请工伤认定的情况

如果单位在工伤发生后30日内及时向社会保险行政部门提出了工伤认定申请，那么后续的赔偿流程将相对顺畅。一旦工伤认定被确认，您将有权享受工伤保险基金支付的相关待遇，包括但不限于医疗费用、康复费用、住院伙食补助费、交通食宿费、辅助器具费用、生活护理费、一次性伤残补助金和伤残津贴等。同时，用人单位也需要承担停工留薪期工资福利待遇、停工留薪期护理以及伤残就业补助金等赔偿责任。

二、单位未及时申请工伤认定的情况

如果单位未在工伤发生后30日内提出工伤认定申请，虽然您仍然有权享受工伤保险相关待遇，但此期间（即从事故伤害发生之日起至社会保险行政部门受理工伤认定申请之日止）发生的符合规定的费用，将由用人单位承担。此外，用人单位还可能面临责令改正、罚款等行政处罚。

具体影响：

1. 费用承担：原本应由工伤保险基金支付的费用，如医疗费用、康复费用等，将转由用人单位承担。
2. 行政处罚：用人单位可能因未及时申请工伤认定而面临行政处罚，如责令改正、罚款等。
3. 赔偿流程：虽然赔偿项目不变，但赔偿流程可能因单位未及时申请工伤认定而变得复杂，需要更多的时间和精力来协调和处理。

三、赔偿流程与注意事项

1. 工伤认定：即使超过一个月，用人单位仍应尽快准备相关材料向社会保险行政部门提出工伤认定申请。社会保险行政部门一般会在受理申请之日起60日内作出决定。
2. 劳动能力鉴定：工伤职工伤情稳定后存在残疾、影响劳动能力的，应进行劳动能力鉴定，以确定赔偿项目和金额。
3. 赔偿协商与支付：根据工伤认定和劳动能力鉴定结果，用人单位和工伤保险基金按规定承担各自的赔偿责任。如有争议，可通过协商、调解、仲裁或诉讼等方式解决。

注意事项：

• 每个地区的具体规定可能有所不同，建议您咨询当地人力资源和社会保障部门或直接向我咨询，以更准确地了解相关法律规定和操作流程。
• 及时申请工伤认定和劳动能力鉴定是保障您权益的关键步骤，请务必重视。
• 用人单位应重视工伤认定的时效性，以避免不必要的经济负担和法律风险。

四、法律建议

1. 保留证据：请务必保留好与工伤相关的所有证据，如医疗记录、事故报告、证人证言等，以便在后续的赔偿流程中证明您的权益。
2. 及时沟通：与用人单位保持及时沟通，了解工伤认定和赔偿的进展情况，确保您的权益得到及时保障。
3. 寻求法律帮助：如果您在赔偿过程中遇到任何问题或困难，可以直接向我咨询，我将为您提供专业的法律帮助和支持。