您好，关于备案项目经理终身责任书的签署时间，这主要依据的是《建筑工程五方责任主体项目负责人质量终身责任追究暂行办法》以及《住房城乡建设部办公厅关于严格落实建筑工程质量终身责任承诺制的通知》等相关规定。

具体来说，对于《暂行办法》施行后（即2014年9月2日以后）新开工建设的工程项目，施工单位的项目经理（也就是备案项目经理）需要在办理工程质量监督手续前签署工程质量终身责任承诺书。这份承诺书需要连同法定代表人授权书一起，报送给工程质量监督机构进行备案。

另外，如果工程项目在《暂行办法》施行前已经开工但正在建设中，那么施工单位的项目经理也需要补签这份工程质量终身责任承诺书，并同样需要连同法定代表人授权书一起报送给工程质量监督机构进行备案。

如果未按照规定办理授权书和承诺书的备案，住房城乡建设主管部门将不予办理工程质量监督手续、不予颁发施工许可证，以及不予办理工程竣工验收备案。

因此，备案项目经理终身责任书的签署时间是在办理工程质量监督手续前，对于新开工项目是在项目开工后、办理质量监督手续前签署；对于已开工在建项目，则需要在规定时间内补签。希望这个解答能够对您有所帮助。