公司可以开除打架员工，但必须确保符合以下条件：规章制度有明确规定、打架行为达到严重程度、开除程序合法，并且根据具体情况决定是否需要支付经济补偿。以下是对此问题的详细分析：
一、法律依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。这是公司开除打架员工的主要法律依据。
二、具体条件
规章制度明确规定：
- 公司的规章制度中必须明确将打架斗殴列为严重违纪行为，并作为开除的依据。
- 该规章制度需经过民主程序制定，如职工代表大会或全体职工讨论，提出方案和意见，与工会或职工代表平等协商确定，并已向员工公示或组织培训学习，确保员工知晓。
打架行为达严重程度：
- 员工打架行为必须达到严重影响公司秩序、生产经营或造成实质性损害的程度。例如，打架导致公司财产损失、工作无法正常进行、公司声誉受损等。
- 轻微的争执或推搡，未对公司造成实质性影响的，通常不足以构成开除的条件。
开除程序合法性：
- 公司在开除员工前，应进行充分调查，了解事情经过，收集相关证据，如监控录像、证人证言等。
- 听取员工陈述和申辩，给予其合理的申辩机会，确保开除决定的公正性。
- 告知员工违纪行为和开除理由，并出具书面解除劳动合同通知书。
三、特殊情况处理
规章制度不合理或未有效公示：
- 若公司规章制度对打架行为的规定不合理，如过于宽泛或模糊，或未按法定程序制定和公示，导致员工不知晓，则公司以此开除员工可能被认定为违法解除劳动合同。
打架情节轻微：
- 对于情节非常轻微的打架行为，如未对公司造成实质性影响，也不符合规章制度中的开除情形，公司不得贸然开除员工，否则属于违法解除。
四、经济补偿问题
合法开除：
- 若公司依据合法有效的规章制度和程序开除打架员工，则无需支付经济补偿金。
违法开除：
- 若公司开除行为被认定为违法，则需按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付经济补偿金。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
五、建议与总结
公司方面：
- 完善公司规章制度，明确打架斗殴等严重违纪行为的定义和处罚措施。
- 加强员工培训，提高员工法律意识和纪律观念。
- 在处理员工打架事件时，确保处理结果的合法性和公正性，避免引发劳动争议。
员工方面：
- 遵守公司规章制度，尊重同事，避免发生打架等违纪行为。
- 若面临公司违法开除的情况，有权通过劳动仲裁等法律途径维护自身权益。
公司在处理员工打架事件时，应谨慎行事，确保处理结果的合法性和公正性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。