结论：培训期不签订劳动合同是否违法，需根据具体情况判断。若培训期间构成事实劳动关系，则不签订劳动合同违法；若仅为实习、见习或劳务关系，则无需签订劳动合同。
一、构成事实劳动关系的情况
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条，建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。
事实劳动关系认定：
- 若培训期间，你实际为用人单位提供了有偿劳动，接受用人单位的管理，并遵守其规章制度，那么即使未签订劳动合同，也构成事实劳动关系。
- 在这种情况下，用人单位不签订劳动合同是违法的，你有权要求用人单位签订书面劳动合同，并主张相应的劳动权益。
法律后果：
- 若用人单位自用工之日起超过一个月未与你签订劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位需自用工之日起第二个月开始支付双倍工资作为赔偿，直至满一年视为签订无固定期限劳动合同。
二、不构成事实劳动关系的情况
实习/见习：
- 若你为在校学生或未毕业学员，通过培训提升技能，且培训期间不视为全职工作，那么通常不构成劳动关系，无需签订劳动合同。
- 但需注意，若名为实习实为全职工作，且接受用人单位的管理和指挥，那么可能被认定为劳动关系，此时应签订劳动合同。
劳务关系：
- 若培训期间，你与用人单位之间是以完成特定任务为目的的临时性工作关系，如兼职家教等，那么适用民法而非劳动法，无需签订劳动合同。
- 但在此情况下，建议明确工作内容和报酬，并保留相关证据，以维护自身权益。
三、建议与行动
确认身份与工作性质：
- 首先确认自己是在校学生、毕业生还是其他身份，以及培训期间的工作性质是实习、见习还是正式就业。
要求签订书面协议：
- 无论是否构成劳动关系，都建议要求用人单位签订书面协议，明确双方的权利和义务，包括培训内容、时间、报酬等。
收集证据维护权益：
- 若遇到纠纷或用人单位不签订劳动合同的情况，收集考勤记录、工资流水、工作证等证据，以维护自身权益。
及时咨询与行动：
- 如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，直接向我咨询。我会根据你的具体情况，提供详细的法律建议和解决方案。
在培训期间，务必保持警惕，明确自己的身份和工作性质，及时要求用人单位签订书面协议，并保留好相关证据。如有任何法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我提问。