结论前置：在第三次劳动合同到期后，若公司不续签且劳动者符合签订无固定期限劳动合同的条件，公司通常需要支付赔偿金，赔偿金为经济补偿标准的两倍；若不符合签订无固定期限劳动合同的条件或劳动者存在过错，则公司可能只需支付经济补偿或无需支付。具体补偿情况需根据合同类型、终止原因及法律规定综合判断。
详细分析
符合签订无固定期限劳动合同的情形
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
- 赔偿责任：若公司在此情况下拒绝续签，属于违法终止劳动合同，需按照《劳动合同法》第八十七条的规定，以经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 经济补偿计算方式：
- 计算基数：经济补偿的月工资是指劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。若劳动者工作不满十二个月，则按实际工作的月数计算平均工资。
- 高工资人群限制：若劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且最高支付年限不超过十二年。
- 计算年限：经济补偿根据劳动者在本单位工作的年限确定，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 赔偿金计算：赔偿金为经济补偿标准的两倍。即按照上述经济补偿的计算方式得出的金额再乘以2。
- 举例说明：假设劳动者在单位工作了5年，月平均工资为8000元（未超过当地上年度职工月平均工资的三倍），那么经济补偿为5×8000=40000元，赔偿金则为40000×2=80000元。
不符合签订无固定期限劳动合同的情形
- 劳动者过错：若劳动者存在《劳动合同法》第三十九条规定的严重违反用人单位规章制度、严重失职等情形，公司可以解除劳动合同且无需支付经济补偿。
- 劳动者不能胜任工作：若劳动者不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位仍不能胜任，公司提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资后，可以解除劳动合同，并按工作年限支付经济补偿。
- 其他合法解除情形：如双方协商一致不续签等，公司可能也无需支付经济补偿金。
特殊保护情形
- 若劳动者在公司连续工作满十年，且距离法定退休年龄不足五年，即使不符合上述无固定期限劳动合同的条件，公司在第三次合同到期后不续签，也可能需要支付经济补偿金，以体现对长期服务员工的特殊保护。
维权建议
面对第三次劳动合同不续签的情况，劳动者应：
- 首先与公司协商解决，要求说明不续签的理由，并主张相应的补偿或赔偿。
- 若协商不成，及时收集劳动合同、工资条、考勤记录等证据，证明劳动关系和工作年限。
- 向劳动监察部门投诉或依法申请劳动仲裁，维护自身合法权益。
综上所述，第三次劳动合同到期后不续签的补偿情况需综合考虑合同类型、终止原因及法律规定。劳动者在遇到此类问题时，应及时向我咨询，以确保自身权益得到有效保护。同时，公司也应严格遵守相关法律法规，避免不必要的法律风险。