结论：劳动仲裁裁决书上的被申请人与实际责任人不一致时，法律责任的承担需根据具体情况分析，主要包括被申请人是否为实际责任人、是否存在错误认定或遗漏责任人、以及是否存在法律上的连带责任或替代责任等情形。

分析说明：

1. 被申请人即为实际责任人：

   • 在大多数情况下，劳动仲裁裁决书上的被申请人即为与劳动者发生劳动争议的实际责任人。若裁决书认定被申请人需承担法律责任，如支付工资、经济补偿等，则被申请人应依法履行裁决义务。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的相关规定，劳动仲裁裁决具有法律效力，被申请人应履行裁决确定的义务。

2. 被申请人非实际责任人，但存在错误认定：

   • 若因证据不足、事实认定错误等原因，导致劳动仲裁裁决书将非实际责任人列为被申请人，并裁决其承担法律责任，此时被申请人可通过法律途径提出异议，如申请撤销仲裁裁决或提起诉讼。
   • 法律建议：被申请人应在收到裁决书后，及时咨询专业律师，评估裁决的合法性及合理性，并在法定期限内提出异议或申请撤销裁决。

3. 被申请人非实际责任人，但存在遗漏责任人：

   • 在某些情况下，劳动仲裁裁决书可能仅列出了部分责任人，而遗漏了其他实际应承担责任的人。此时，劳动者或被申请人均可通过法律途径追加遗漏的责任人。
   • 法律程序：若劳动者认为裁决遗漏了责任人，可在法定期限内向人民法院提起诉讼，要求追加责任人并重新审理；若被申请人认为自身非实际责任人且裁决遗漏了责任人，同样可提出异议并申请追加责任人。

4. 存在法律上的连带责任或替代责任：

   • 在某些特定情况下，如用人单位分立、合并、转让等，可能存在法律上的连带责任或替代责任。此时，即使劳动仲裁裁决书上的被申请人并非直接责任人，也可能因法律规定而需承担连带责任或替代责任。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规的规定，用人单位分立、合并、转让等情形下，原用人单位的权利义务由承继其权利义务的用人单位承担；若原用人单位无法承担或未承担，则可能由相关责任人承担连带责任。

行动建议：

• 对于劳动者：若发现劳动仲裁裁决书上的被申请人与实际责任人不一致，或裁决存在错误认定、遗漏责任人等情况，应及时咨询专业律师，评估裁决的合法性及合理性，并在法定期限内采取法律措施维护自身权益。
• 对于被申请人：若认为自身非实际责任人或裁决存在错误，同样应及时咨询专业律师，准备相关证据材料，并在法定期限内提出异议或申请撤销裁决。

后续思考：在处理劳动仲裁案件时，应充分重视证据的收集与整理工作，确保事实认定准确无误；同时，也应关注法律法规的更新与变化，以便在案件处理过程中准确运用法律条款维护当事人权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。