在执法中，行政工作人员未履行法定职责侵犯公众权益，主要涉及《中华人民共和国行政诉讼法》和《中华人民共和国行政复议法》中的相关条款。以下是对此问题的详细分析：
《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定：
- 第十二条：该条款列举了人民法院受理公民、法人或者其他组织提起的诉讼范围，其中包括“申请行政机关履行保护人身权、财产权等合法权益的法定职责，行政机关拒绝履行或者不予答复的”。这意味着，如果行政工作人员未履行其法定职责，侵犯了公众的合法权益，公众有权向人民法院提起诉讼。
- 第七十二条：该条款规定，人民法院经过审理，查明被告不履行法定职责的，判决被告在一定期限内履行。这进一步明确了行政工作人员未履行法定职责时，人民法院可以作出判决要求其履行。
《中华人民共和国行政复议法》的相关规定：
- 第六条：该条款列举了公民、法人或者其他组织可以依照本法申请行政复议的情形，其中包括“申请行政机关履行保护人身权利、财产权利、受教育权利的法定职责，行政机关没有依法履行的”。这表明，如果行政工作人员未履行其法定职责，公众也有权向行政复议机关申请行政复议。
- 第二十八条：该条款规定，行政复议机关负责法制工作的机构应当对被申请人作出的具体行政行为进行审查，提出意见，经行政复议机关的负责人同意或者集体讨论通过后，对于被申请人不履行法定职责的，决定其在一定期限内履行。这进一步明确了行政复议机关在处理此类案件时的职责和权力。
法律后果与建议：
- 如果行政工作人员未履行法定职责，侵犯了公众的合法权益，公众可以通过行政诉讼或行政复议的途径来维护自己的权益。
- 在提起行政诉讼或申请行政复议时，公众需要提供充分的证据来证明行政工作人员未履行法定职责，以及这种不履行行为对自己造成的损害。
- 为了避免此类纠纷的发生，行政工作人员应当严格遵守法律法规，认真履行自己的法定职责，确保公众的合法权益得到保障。
举例说明：
假设某行政机关负责监管某企业的安全生产，但该行政机关的工作人员未按照法定职责进行定期检查，导致该企业发生安全事故，造成人员伤亡和财产损失。在这种情况下，受影响的公众或企业可以向人民法院提起行政诉讼，要求该行政机关承担相应的法律责任；或者向行政复议机关申请行政复议，要求该行政机关履行其法定职责并赔偿损失。
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