结论：行贿人被留置后拟不移送检察机关审查起诉的，是否需要移送审理，需根据具体情况判断，若留置措施涉及监察机关调查且未达到刑事追诉标准，则无需移送检察机关审查起诉，也无需移送审理；若留置措施涉及刑事强制措施且符合刑事追诉标准，则必须移送检察机关审查起诉，并可能涉及移送审理程序。以下从不同角度详细分析：
一、留置措施的性质与目的
留置措施在监察法和刑事诉讼法中有不同的规定和目的：
监察法中的留置：
- 根据《中华人民共和国监察法》的相关规定，留置是监察机关在调查涉嫌严重职务违法或职务犯罪时，对被调查人采取的限制人身自由的强制措施。
- 留置的目的是为了深入调查案件事实，收集证据，确保调查工作的顺利进行。
- 若行贿人的行为被监察机关认定为涉嫌严重职务违法或职务犯罪，并采取留置措施，但后续调查发现其行为未达到刑事追诉标准，监察机关可能会决定不移送检察机关审查起诉。
刑事诉讼法中的留置（实际为刑事强制措施中的拘留等）：
- 在刑事诉讼法中，并没有直接规定“留置”作为刑事强制措施，但类似限制人身自由的措施包括拘留、逮捕等。
- 若行贿人的行为被公安机关或检察机关认定为涉嫌犯罪，并采取刑事强制措施（如拘留），且后续调查发现其行为符合刑事追诉标准，则必须移送检察机关审查起诉。
二、移送审理的适用情形
移送审理通常指的是将案件移送至审判机关（法院）进行审理。在刑事案件中，移送审理的前提是案件已经经过检察机关的审查起诉，并决定提起公诉。
不移送检察机关审查起诉的情形：
- 若行贿人的行为未达到刑事追诉标准，或存在其他依法不追究刑事责任的情形（如已过追诉时效期限、经特赦令免除刑罚等），监察机关或公安机关可能会决定不移送检察机关审查起诉。
- 在此情形下，由于案件未进入刑事诉讼程序，因此无需移送审理。
移送检察机关审查起诉并可能移送审理的情形：
- 若行贿人的行为符合刑事追诉标准，且没有其他依法不追究刑事责任的情形，监察机关或公安机关必须将案件移送检察机关审查起诉。
- 检察机关在审查起诉后，若决定提起公诉，则会将案件移送至法院进行审理。
三、具体操作与法律依据
监察机关的操作：
- 监察机关在调查过程中，若发现行贿人的行为涉嫌犯罪但未达到刑事追诉标准，或存在其他依法不追究刑事责任的情形，可以决定不移送检察机关审查起诉。
- 监察机关的决定应基于充分的调查和证据收集，并符合相关法律法规的规定。
公安机关的操作：
- 公安机关在侦查过程中，若发现行贿人的行为涉嫌犯罪且符合刑事追诉标准，应将案件移送检察机关审查起诉。
- 公安机关在移送案件前，应确保案件事实清楚、证据确实充分，并符合相关法律法规的规定。
法律依据：
- 《中华人民共和国监察法》第四十五条：监察机关根据监督、调查结果，依法作出处置，对涉嫌职务犯罪的，监察机关经调查认为犯罪事实清楚，证据确实、充分的，制作起诉意见书，连同案卷材料、证据一并移送人民检察院依法审查、提起公诉。
- 《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百七十六条：人民检察院认为犯罪嫌疑人的犯罪事实已经查清，证据确实、充分，依法应当追究刑事责任的，应当作出起诉决定，按照审判管辖的规定，向人民法院提起公诉，并将案卷材料、证据移送人民法院。
四、建议与注意事项
对于行贿人而言：
- 若被留置或采取其他刑事强制措施，应积极配合调查或侦查工作，如实陈述事实、提供证据。
- 若认为自己的行为不构成犯罪或存在依法不追究刑事责任的情形，可以及时向监察机关或公安机关提出申辩或申请取保候审等。
对于监察机关或公安机关而言：
- 在决定是否移送检察机关审查起诉时，应严格依据相关法律法规的规定和案件事实进行判断。
- 若决定不移送检察机关审查起诉，应制作相应的法律文书并说明理由，确保决定的合法性和合理性。
对于后续可能涉及的审理程序：
- 若案件被移送至法院进行审理，行贿人应积极准备应诉工作，包括聘请律师、收集证据等。
- 法院在审理过程中将依法独立行使审判权，对案件进行公正、公平的审理和判决。
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