可以申请法律援助。以下是详细分析：

1. 法律援助的适用对象：根据我国《法律援助法》的相关规定，未成年人因刑事案件需要法律帮助的，属于法律援助的法定对象。您儿子15岁，属于未成年人，符合这一基本条件。

2. 经济困难标准：法律援助通常要求申请人经济困难，无法承担律师费用。您目前没有工作，且需要照顾生病的婆婆和年幼的孩子，家庭经济状况可能较为困难。这种情况下，您可以向当地法律援助机构提供相关证明材料（如低保证明、收入证明等），以证明家庭经济困难，从而符合法律援助的经济条件。

3. 申请流程：

   • 准备材料：包括身份证明（您和儿子的身份证、户口本等）、经济困难证明（如低保证明、社区或村委会出具的经济困难证明等）、案件相关材料（如公安机关的立案通知书等）。
   • 提交申请：向当地法律援助中心或司法局提交申请，并填写相关表格。
   • 审核与指派：法律援助机构会对您的申请进行审核，符合条件的会指派律师为您提供法律援助。

4. 注意事项：

   • 及时申请：刑事案件的法律援助申请应尽早进行，以确保在案件的各个阶段都能得到专业的法律帮助。
   • 配合律师工作：在获得法律援助后，应积极配合律师的工作，提供必要的案件信息和证据，以便律师更好地为您儿子辩护。

5. 其他帮助：除了法律援助，您还可以考虑向当地妇联、民政部门或社区组织寻求帮助，他们可能提供一些生活上的支持或指导。

如果您在申请过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。