针对您提出的“哥哥城市户口能否在母亲的宅基地上扩建房子”的问题，我们需要从多个方面来详细分析。

首先，我们要明确的是，农村宅基地使用权是具有所在村集体经济组织成员身份的村民才能拥有的。这意味着，如果您的哥哥已经取得了城市户口，那么他原则上就不再具备获得村内宅基地使用资格的身份条件。

接下来，我们来看宅基地的继承问题。如果家庭“户”已经灭失，但房屋还在，且存在法定继承人（如进城落户的子女），那么子女可以凭房继承农房，进而获得房屋续存期间宅基地的使用资格。但这里有一个关键点，即一旦房屋倒塌或存在安全隐患不再适合居住时，宅基地将被村集体收回。而且，继承农房的子女并不能再在老宅上进行翻建或改扩建活动。

再来看扩建的审批问题。无论是在原有宅基地上进行翻建还是扩建，都需要履行相应的审批手续。这包括向当地人民政府提出申请，并获得批准后方可实施。同时，在扩建过程中，必须确保不侵犯其他村民的合法权益，且扩建完成后还需及时办理土地变更登记手续，以确保扩建行为的合法性。

此外，我们还需要考虑规划问题。我国国土空间规划和农村村庄规划一直处于整体稳定、局部调整的状态。如果宅基地所在地块因规划调整而变更了用地性质，如用于修路筑桥等公共设施，或者根据规划当地划入征迁区、生态保护区、水源保护区等，那么在这些情况下再翻建或扩建农房将是不允许的。

最后，针对您哥哥的情况，由于他已经是城市户口，原则上不具备在母亲宅基地上扩建房子的资格。如果他确实需要改善居住条件或增加使用面积，建议他考虑其他合法途径，如在城市购买房产或租赁符合居住条件的房屋等。

综上所述，哥哥作为城市户口，在母亲的宅基地上扩建房子是不合法的。他必须遵守相关法律法规和规划要求，通过合法途径来解决居住问题。希望这个解答能够对您有所帮助。