结论：合同到期没有及时续签，公司并不因此获得随时辞退你的权利。具体能否辞退以及辞退的后果，需根据是否继续用工、单位是否存在过错等因素综合判断。以下是对此问题的详细分析：

一、劳动合同到期后的法律状态

1. 劳动关系终止：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条的规定，劳动合同期满的，劳动合同终止。这意味着，从法律上讲，当劳动合同到期且双方未续签时，劳动关系已经终止。但这一终止并不直接赋予公司随时辞退你的权利，尤其是在你继续为公司工作的情况下。

2. 事实劳动关系：如果劳动合同期满后，你仍在原用人单位工作，而用人单位未表示异议，则视为双方同意以原条件继续履行劳动合同，形成事实劳动关系。在此情况下，公司若要辞退你，需遵循《中华人民共和国劳动合同法》中关于解除劳动合同的规定。

二、公司辞退员工的法律限制

1. 合法解除劳动合同的情形：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，如果劳动者存在严重违反用人单位规章制度、严重失职、营私舞弊给用人单位造成重大损害等情形，即使劳动合同到期未续签，用人单位也可解除劳动关系且无需支付经济补偿。但这种情况需要公司有充分的证据证明你的过错。
   • 除此之外，公司若要辞退你，通常需提前三十日以书面形式通知你或额外支付一个月工资后解除劳动合同，并支付相应的经济补偿。

2. 未续签合同的双倍工资问题：

   • 自劳动合同期满的次日起，若超过一个月不满一年，公司仍未与你续订书面劳动合同，需依照《劳动合同法》第八十二条向你每月支付两倍的工资，并补订书面劳动合同。
   • 若公司在此期间随意辞退你，除需支付双倍工资外，还可能因违法解除劳动关系而支付赔偿金，赔偿金标准为经济补偿标准的二倍。

三、你的权利与应对策略

1. 保留证据：无论何种情况，你都应保留好相关证据，如劳动合同、工资条、考勤记录等，以备不时之需。这些证据将有助于你维护自己的合法权益。

2. 了解法律规定：你应了解自己的权利和义务，以及相关的法律规定。例如，如果公司未与你续签合同但继续用工，你有权要求公司支付双倍工资；如果公司违法辞退你，你有权要求经济补偿或赔偿金。

3. 积极沟通：在决定离职或应对公司辞退前，建议你与公司进行沟通，明确双方的意愿和立场。通过沟通，你可以更好地了解公司的意图，并寻求双方都能接受的解决方案。

4. 寻求法律帮助：如果公司对你的辞职有任何异议或不合理要求，或者你面临违法辞退的情况，你可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律帮助，确保你的权益得到妥善保障。

总结与建议：合同到期没有及时续签，并不意味着公司可以随时辞退你。公司若要辞退你，需遵循相关的劳动法规及合同约定。作为劳动者，你应了解自己的法律地位和权利义务，并积极维护自己的合法权益。如果遇到任何问题或纠纷，请及时向我咨询，我会为你提供专业的法律支持和建议。