当劳动仲裁双方调解成功后，公司按照约定支付了相应款项，这通常意味着劳动争议已经得到了妥善解决。不过，为了确保整个流程的完整性和您的权益得到充分保障，接下来您可以按照以下步骤进行处理：

一、确认款项支付情况

1. 核对支付金额：首先，您需要仔细核对公司支付的金额是否与调解协议中约定的金额一致，确保没有遗漏或错误。
2. 确认支付方式：检查款项是否通过约定的支付方式（如银行转账、现金等）进行支付，并保留好相关支付凭证。

二、签署调解协议确认书（如有需要）

如果劳动仲裁机构或双方认为有必要，可以签署一份调解协议确认书，明确双方已经按照调解协议履行了各自义务，劳动争议已经得到解决。这有助于避免未来可能出现的纠纷。

三、保留相关证据和文件

1. 保存调解协议：将调解协议原件妥善保存，以备未来可能需要的查阅或证明。
2. 保留支付凭证：将公司支付款项的凭证（如银行转账记录、收据等）进行复印或扫描保存，作为已履行支付义务的证据。

四、关注后续事项（如有特殊约定）

如果调解协议中有关于后续事项（如保密条款、非竞争条款等）的约定，您需要确保自己遵守这些约定，并留意公司是否也遵守了相关约定。

五、无需进一步法律行动的情况

在大多数情况下，一旦公司按照调解协议支付了款项，且双方没有其他争议或特殊约定，您就不需要再采取进一步的法律行动。劳动争议已经得到圆满解决。

六、特殊情况处理

1. 如果公司未完全履行：如果公司只支付了部分款项或未按照约定时间支付，您可以首先与公司进行沟通协商，要求其履行剩余义务。如果协商无果，您可以考虑向劳动仲裁机构申请恢复仲裁程序或向人民法院提起诉讼。
2. 如果发现公司有其他违法行为：如果您在调解后发现公司存在其他违法行为（如未依法缴纳社会保险、拖欠工资等），您可以依法向相关部门投诉或举报。

七、总结与建议

劳动仲裁双方调解成功后，公司支付款项是履行调解协议的重要一步。为了确保您的权益得到充分保障，建议您仔细核对支付情况、保留相关证据和文件，并关注后续事项（如有特殊约定）。同时，如果公司未完全履行或存在其他违法行为，您也有权依法采取相应措施来维护自己的合法权益。