结论：小孩在篮球馆比赛时手骨折，机构是否应承担相应责任，需根据具体情况判断，主要包括机构是否存在过错、过错与损害结果之间的因果关系等因素。以下从不同角度进行分析：
一、机构存在过错的情况
安全保障义务未履行：
- 法律解释：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，公共场所的管理人或者群众性活动的组织者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。篮球馆作为比赛的组织者和场地提供者，有义务确保比赛环境的安全，包括场地的维护、设施的完好以及提供必要的急救措施等。
- 具体情形：如果篮球馆的场地存在安全隐患（如地面湿滑、有障碍物等），或者未提供必要的防护装备（如护腕、护膝等），导致小孩在比赛过程中手骨折，那么篮球馆可能因未履行安全保障义务而承担责任。
教练或工作人员疏忽：
- 法律解释：如果篮球馆的教练或工作人员在比赛过程中存在疏忽，如未及时制止危险动作、未提供正确的技术指导等，导致小孩受伤，那么篮球馆也可能因教练或工作人员的过错而承担责任。
- 具体情形：例如，教练在明知某个动作存在高风险的情况下，仍鼓励或要求小孩执行，结果导致手骨折，这种情况下篮球馆需承担相应责任。
二、机构无过错或过错较小的情况
小孩自身原因：
- 法律解释：如果小孩的手骨折是由于自身原因造成的，如技术不熟练、动作失误等，且篮球馆已经尽到了安全保障义务，那么篮球馆可能不承担责任或承担较小的责任。
- 具体情形：例如，小孩在尝试一个高难度动作时，因自身技术不足而摔倒导致手骨折，且篮球馆的场地和设施均符合安全标准，教练也提供了正确的技术指导，这种情况下篮球馆的责任可能较小或不存在。
第三方原因：
- 法律解释：如果小孩的手骨折是由第三方（如其他参赛者）的行为造成的，且篮球馆已经尽到了安全保障义务，那么篮球馆可能不承担直接责任，但可能需承担一定的补充责任（如协助调查、提供证据等）。
- 具体情形：例如，其他参赛者在比赛中故意或过失地碰撞小孩，导致其手骨折，且篮球馆无法预见或防止该行为的发生，这种情况下篮球馆的责任可能较小或不存在直接责任。
三、责任划分与赔偿
- 责任划分：在确定篮球馆是否应承担责任时，需要综合考虑多种因素，包括机构的安全保障义务履行情况、小孩自身的原因、第三方的原因等。如果机构存在过错，且过错与损害结果之间存在因果关系，那么机构应承担相应的责任。
- 赔偿范围：如果篮球馆需要承担责任，赔偿范围通常包括医疗费、护理费、交通费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入（如果小孩有误工损失的话，但通常小孩无此项损失）。如果造成残疾，还应赔偿辅助器具费和残疾赔偿金等。
建议：如果小孩在篮球馆比赛时手骨折，家长应首先与篮球馆协商解决赔偿事宜。如果协商无果，可以收集相关证据（如现场照片、视频、医疗记录等），并向法院提起诉讼或向相关部门投诉以维护自身权益。在处理此类纠纷时，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议。