遇到档案局行政机关不履行法定职责时，可以通过以下法律途径依法解决：

1. 申请行政复议
   根据《中华人民共和国行政复议法》第六条，公民、法人或其他组织认为行政机关不履行法定职责的，可自知道该行为之日起60日内向上一级行政机关或本级人民政府申请复议。例如，若档案局未按《档案法》规定提供档案查询服务，可向其上级部门（如政府办公厅）或同级政府提出复议申请，要求其责令档案局履行职责。

2. 提起行政诉讼
   若复议未解决或未申请复议，可直接向法院起诉（《行政诉讼法》第十二条）。需注意：

   • 起诉期限：自知道行政机关不作为之日起6个月内提出；
     
   • 证据准备：需证明曾向档案局提出过履行职责的申请（如书面申请、邮寄凭证等），且档案局未在法定期限内答复或明确拒绝；
     
   • 诉讼请求：可要求法院判决档案局限期履行职责，或确认其不作为违法并赔偿损失（如因档案缺失导致的经济损失）。

3. 投诉与举报

   • 向上级机关投诉：通过政府信箱、纪检监察渠道反映档案局不作为问题，可能触发内部督查；
     
   • 向检察院申请监督：若行政机关不作为涉及公共利益，检察院可依据《行政诉讼法》第二十五条提出检察建议或提起公益诉讼。

操作建议：

• 优先协商：再次书面催告档案局履行职责，并留存送达证据（如EMS回执），为后续法律程序铺垫；
  
• 同步取证：收集与档案局职责相关的法规（如《档案法》第二十二条关于档案查询的规定），明确其法定义务；
  
• 专业辅助：若涉及复杂程序或证据固定，可委托律师起草法律文书或代理诉讼，提高维权效率。
  

风险提示：行政诉讼中，若法院认定档案局已履行职责或原告无法证明其申请过，可能驳回诉讼请求。因此，务必确保每一步操作（如申请、催告）均有书面痕迹。

如有具体案件细节（如档案类型、申请过程等），可进一步向我说明，我会结合实际情况提供针对性方案。