可以申请督办履职。针对信访三级终结后出现的不作为或乱作为情况，以下从不同角度为你详细分析：

一、信访三级终结制度概述

信访三级终结制度是指信访事项经过三级行政机关（通常是基层、市级、省级）的办理和复查复核后，即视为终结，信访人应停止信访行为。这一制度旨在规范信访秩序，提高信访处理效率，但并不意味着信访人完全丧失了寻求救济的途径。

二、不作为或乱作为的情形

1. 不作为：指行政机关在信访事项处理过程中，未按照法定程序或期限进行办理、复查或复核，导致信访人权益受损。
2. 乱作为：指行政机关在信访事项处理过程中，违反法定程序或超越职权范围，作出错误或不当的行政行为，损害信访人合法权益。

三、申请督办履职的法律依据

1. 《信访条例》：虽然《信访条例》已被《信访工作条例》替代，但其中关于信访事项处理、复查、复核以及督办的相关规定，仍具有一定的参考价值。根据原《信访条例》的精神，上级行政机关有权对下级行政机关的信访工作进行督办，确保信访事项得到妥善处理。
2. 《信访工作条例》：该条例明确规定了信访工作的原则、程序、监督和责任等内容。其中，对于信访事项的处理、复查、复核以及督办等环节都有详细规定。根据《信访工作条例》，信访人认为行政机关在信访事项处理中存在不作为或乱作为情形的，可以向有关机关提出督办申请。

四、申请督办履职的具体途径

1. 向上级行政机关申请督办：信访人可以向处理信访事项的行政机关的上一级行政机关提出督办申请，要求其对下级行政机关的不作为或乱作为行为进行督办。
2. 向信访工作机构申请督办：信访人也可以向当地的信访工作机构（如信访局）提出督办申请，由信访工作机构协调相关行政机关进行督办。
3. 通过法律途径寻求救济：如果信访人认为行政机关的不作为或乱作为行为已经严重损害了其合法权益，且通过督办途径无法得到有效解决，还可以考虑通过行政复议或行政诉讼等法律途径寻求救济。

五、申请督办履职的注意事项

1. 提供充分证据：信访人在申请督办时，应提供充分的证据证明行政机关存在不作为或乱作为行为，如信访事项的处理记录、复查复核意见、相关行政机关的回复等。
2. 明确督办请求：信访人在申请督办时，应明确提出督办请求，如要求行政机关重新处理信访事项、纠正错误行为、赔偿损失等。
3. 遵循法定程序：信访人在申请督办时，应遵循法定程序，按照规定的途径和方式提出申请，避免采取过激行为或违法手段。

在实际操作中，如果遇到信访三级终结后不作为或乱作为的情况，建议你首先收集相关证据，明确督办请求，然后按照法定程序向上级行政机关或信访工作机构提出督办申请。如有需要，也可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供更详细的法律建议。