结论：劳务派遣员工发生工伤时，劳务派遣单位和用工单位一般不需要同时申请工伤认定，但二者均负有相应义务，具体申请主体及流程需根据实际情况确定。以下从不同角度详细说明：
一、申请工伤认定的主体及义务
劳务派遣单位（用人单位）的义务
根据《工伤保险条例》及《劳务派遣暂行规定》，劳务派遣单位是法律意义上的用人单位，与被派遣劳动者存在劳动关系，并承担工伤保险责任。因此：
- 单位申请义务：劳务派遣单位应在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
- 未申请的后果：若劳务派遣单位未在规定时限内申请，工伤职工或其近亲属、工会组织可在1年内直接向社会保险行政部门提出申请，且相关费用（如医疗费）可能由劳务派遣单位承担。
用工单位的角色
用工单位虽非法律意义上的用人单位，但作为实际用工方，需配合工伤认定工作，例如：
- 提供事故现场证据、工作记录等材料；
- 协助社会保险行政部门调查核实情况。
但用工单位无独立申请工伤认定的权利，除非劳务派遣单位明确授权或委托。
二、劳务派遣单位与用工单位能否同时申请？
法律未禁止同时申请，但实践中无必要。原因如下：
- 申请主体唯一性：工伤认定申请以“用人单位”名义提出，劳务派遣单位作为法定用人单位，已涵盖申请主体资格，用工单位无需重复申请。
- 流程效率考量：若双方同时申请，可能导致社会保险行政部门重复受理、调查，反而延误认定进度。
- 责任划分明确：劳务派遣单位未申请时，职工或近亲属可直接申请，用工单位仅需配合提供材料，无需承担申请义务。
三、特殊情形下的处理建议
劳务派遣单位未缴纳工伤保险
- 若劳务派遣单位未依法为职工缴纳工伤保险，工伤认定及赔偿责任仍由其承担，但职工可要求用工单位承担连带责任（司法实践中存在争议，需结合具体证据判断）。
- 建议：职工可同时向劳务派遣单位和用工单位主张权益，并保留劳动合同、工资记录、工伤证据等材料。
用工单位直接申请（罕见情形）
- 若劳务派遣单位拒绝申请且失联，用工单位可协助职工或其近亲属申请工伤认定，但需以职工名义提交材料，并注明劳务派遣关系。
- 注意：用工单位此举不改变其非用人单位的法律地位，最终赔偿责任仍由劳务派遣单位承担（除非用工单位存在过错）。
四、工伤认定后的赔偿流程
- 认定工伤后：职工可享受医疗救治、伤残补助、停工留薪期工资等工伤保险待遇。
- 未参保情形：若劳务派遣单位未缴纳工伤保险，所有待遇由其支付；若用工单位存在过错（如未督促参保），可能需承担部分赔偿责任。
- 争议解决：对工伤认定结论或赔偿金额有异议的，可申请行政复议或提起行政诉讼。
总结：劳务派遣员工发生工伤时，劳务派遣单位是法定申请主体，用工单位无需也不应同时申请，但需配合提供材料。若劳务派遣单位未履行义务，职工或近亲属可直接申请。如有复杂情形（如未参保、责任争议），建议及时咨询专业律师，确保权益最大化。