结论：劳务公司辞退60岁员工的影响，需根据员工是否享受基本养老保险待遇、劳务合同或劳动合同的具体约定以及辞退的具体原因来综合判断。以下是对此问题的详细分析：
一、员工已享受基本养老保险待遇
劳动合同终止：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条，劳动者开始依法享受基本养老保险待遇的，劳动合同终止。因此，若60岁员工已享受基本养老保险待遇，劳务公司与该员工的劳动合同自动终止。
无需支付经济补偿：
- 在此情况下，劳务公司辞退员工无需支付经济补偿。这是因为劳动合同的终止是基于法律规定，而非劳务公司的单方面行为。
二、员工未享受基本养老保险待遇
劳务关系与劳动关系的区分：
- 劳务关系：若60岁员工虽达到退休年龄，但未享受基本养老保险待遇，且与劳务公司之间签订的是劳务合同，则双方构成劳务关系。在劳务关系下，劳务公司辞退员工一般无法定补偿义务，除非劳务合同中有特别约定。
- 劳动关系：若60岁员工未享受基本养老保险待遇，且与劳务公司之间构成劳动关系（如未签订劳务合同，但存在事实上的劳动关系），则劳务公司辞退员工需遵循劳动法相关规定。
辞退原因与经济补偿：
- 合法辞退：若劳务公司依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条（如员工严重违反规章制度、严重失职等）辞退员工，且辞退程序合法，通常无需支付经济补偿。
- 无过失性辞退：若劳务公司依据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条（如员工不能胜任工作，经过培训或调整岗位后仍不能胜任）辞退员工，需提前三十日书面通知员工或额外支付一个月工资后解除劳动合同，并根据员工工作年限支付经济补偿。经济补偿的计算公式为：经济补偿 = 工作年限 × 月工资（工作年限每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年按一年计，不满六个月支付半个月工资）。
- 违法辞退：若劳务公司无法证明辞退的合法性，或辞退程序存在瑕疵，构成违法解除劳动合同，则需按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。
三、操作建议
查看合同约定：
- 劳务公司和员工应首先查看双方签订的合同，明确约定内容，特别是关于辞退和经济补偿的条款。
了解当地法规：
- 了解当地的劳动法律法规和司法实践，确保处理方式符合法律要求。不同地区对于达到退休年龄但未享受基本养老保险待遇的员工的劳动关系认定可能存在差异。
协商解决：
- 如双方对辞退事宜存在争议，应通过协商、调解、劳动仲裁或诉讼等方式妥善解决。协商是解决争议的最快捷方式，可以避免不必要的法律纠纷和成本。
咨询专业律师：
- 在处理此类复杂问题时，建议劳务公司和员工都咨询专业律师，以确保自身权益得到充分保障。作为专业律师，我可以根据具体情况提供详细的法律建议和指导。
总结：劳务公司辞退60岁员工的影响取决于多种因素，包括员工是否享受基本养老保险待遇、劳务合同或劳动合同的具体约定以及辞退的具体原因。在处理此类问题时，劳务公司和员工都应谨慎行事，确保符合法律法规的要求，并通过协商或法律途径妥善解决争议。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。