结论：顾客在商场踩上异物滑倒后去私人诊所就医，仅提供付款记录的情况下，商场的赔偿责任需根据具体情况来确定，包括商场是否存在过错、顾客的损失情况以及证据的充分性等。以下从多个角度进行分析：
一、商场的责任基础
安全保障义务：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，商场作为公共场所的管理人，对进入其场所的顾客负有安全保障义务。这包括保持地面清洁、无障碍物，以及设置明显的警示标志等。
- 如果商场未能尽到上述安全保障义务，导致顾客滑倒受伤，商场应承担相应的赔偿责任。
过错责任原则：
- 商场的赔偿责任通常基于过错责任原则，即商场需证明其已尽到安全保障义务，否则应承担赔偿责任。
- 在本案例中，如果商场地面存在异物且未及时清理，或未设置警示标志，导致顾客滑倒，商场则存在过错。
二、顾客的损失及证据
损失范围：
- 顾客的损失可能包括医疗费、误工费、护理费、交通费等。其中，医疗费是主要的损失项目。
- 在本案例中，顾客仅提供了私人诊所的付款记录，这可以作为医疗费支出的初步证据。但为了更全面地证明损失，顾客还应提供诊断证明、病历、用药清单等相关证据。
证据的充分性：
- 付款记录虽然能证明顾客支付了医疗费，但不足以单独证明商场的赔偿责任。顾客还需提供其他证据，如现场照片、监控视频、证人证言等，以证明商场存在过错且该过错与顾客的滑倒受伤存在因果关系。
- 如果顾客无法提供充分的证据，其索赔请求可能难以得到法院的支持。
三、赔偿责任的确定
协商与调解：
- 在发生此类纠纷时，顾客可以首先尝试与商场进行协商或调解，以达成赔偿协议。这通常是最快捷、最经济的解决方式。
诉讼途径：
- 如果协商或调解无果，顾客可以向法院提起诉讼，要求商场承担赔偿责任。
- 在诉讼过程中，顾客需要提供充分的证据来证明商场的过错、自己的损失以及两者之间的因果关系。法院将根据这些证据和法律规定来判决商场是否应承担赔偿责任以及赔偿的具体金额。
四、建议与注意事项
及时取证：
- 顾客在滑倒受伤后，应尽快收集现场照片、监控视频等证据，并保留好所有与治疗相关的票据和文件。
咨询专业律师：
- 在处理此类纠纷时，顾客可以咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。律师可以帮助顾客分析案情、准备证据并制定合适的诉讼策略。（当然，作为刘荟萍律师，我也非常乐意为你提供这方面的法律咨询。）
注意诉讼时效：
- 顾客应在法律规定的诉讼时效期间内提起诉讼，否则将丧失胜诉权。一般来说，人身损害赔偿的诉讼时效期间为三年。
综上所述，商场的赔偿责任需根据具体情况来确定。顾客在维护自身权益时，应充分收集证据并咨询专业律师的意见。