结论：私自将公房出售给他人且不经过交易中心进行交易，这种行为在法律上是不被允许的，且可能引发一系列法律后果。

法律背景与解释：

1. 公房的性质与交易规定：

   • 公房，通常指的是由政府或单位分配给职工居住的房屋，其产权可能归属于政府或单位。这类房屋的交易往往受到严格的限制和管理，需要遵循特定的程序和规定。
   • 在大多数情况下，公房的出售需要经过相关部门的审批和登记，以确保交易的合法性和合规性。不经过交易中心进行交易，可能意味着跳过了这些必要的审批和登记程序。

2. 不经过交易中心交易的法律后果：

   • 合同效力问题：如果公房出售合同未经过必要的审批和登记程序，该合同可能被视为无效或可撤销。这意味着，一旦发生纠纷，买方可能无法依据合同要求卖方履行义务或承担违约责任。
   • 产权转移问题：不经过交易中心进行交易，可能导致产权无法顺利转移。即使双方签订了买卖合同，但由于缺乏必要的法律手续，买方可能无法获得房屋的合法产权。
   • 行政处罚风险：对于未经批准擅自出售公房的行为，相关部门可能依法对卖方进行行政处罚，如罚款、没收违法所得等。
   • 刑事责任风险：在极端情况下，如果卖方的行为构成犯罪（如诈骗、非法经营等），还可能面临刑事责任的追究。

法律建议：

• 遵守法律法规：在出售公房时，务必遵守相关的法律法规和政策规定，确保交易的合法性和合规性。
• 经过交易中心交易：为了保障交易的顺利进行和双方的合法权益，建议通过交易中心进行公房的买卖交易。交易中心可以提供专业的服务，确保交易的合法性和安全性。
• 咨询专业律师：在进行公房交易前，建议咨询专业律师以了解具体的法律程序和注意事项。律师可以根据具体情况提供针对性的法律建议和帮助。

可能的其他情况：

• 如果公房已经转化为私房（即产权已经转移至个人名下），那么其交易可能不再受到公房交易规定的限制。但即便如此，为了保障交易的合法性和安全性，仍然建议通过交易中心进行交易，并咨询专业律师的意见。

总之，私自将公房出售给他人且不经过交易中心进行交易是存在法律风险的。为了保障自身的合法权益和避免不必要的法律纠纷，建议在进行公房交易时务必遵守相关法律法规和政策规定，并通过正规渠道进行交易。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。