结论：包工头因突发病情急需治疗费用而讨要工程款，但公司拒绝支付的情况下，可以通过协商、申请调解、提起诉讼或申请仲裁等多种途径来维护自己的合法权益。
详细分析：
协商途径：
- 首先，包工头可以尝试与公司进行友好协商，明确表达自己的困境和急需工程款的原因，看是否能够达成一个双方都能接受的支付方案。
- 协商过程中，可以提出分期支付、提前支付部分款项等灵活方案，以缓解当前的资金压力。
申请调解：
- 如果协商无果，包工头可以向当地的劳动争议调解组织（如劳动争议调解委员会）申请调解。
- 调解组织会介入双方之间，帮助沟通、协商，并尝试达成一个调解协议，该协议具有法律效力，双方应当履行。
提起诉讼：
- 若调解也未能解决问题，包工头可以向人民法院提起诉讼，要求公司支付工程款。
- 在诉讼过程中，需要提供充分的证据证明公司确实拖欠工程款，以及自己因病情急需治疗费用的情况。
- 法院会根据事实和法律规定，作出判决，要求公司支付相应的工程款。
申请仲裁（如果合同中有仲裁条款）：
- 如果包工头与公司之间的合同中包含了仲裁条款，那么包工头也可以选择向约定的仲裁机构申请仲裁。
- 仲裁机构会按照仲裁程序进行审理，并作出裁决，该裁决同样具有法律效力。
法律建议：
- 在采取任何行动之前，包工头应当确保自己有充分的证据证明公司拖欠工程款，如合同、发票、付款记录等。
- 同时，也要准备好证明自己因病情急需治疗费用的相关证据，如医疗证明、费用清单等。
- 在整个过程中，包工头可以寻求法律援助或咨询专业律师（即我，熊丽律师，专注于经济纠纷、合同纠纷等领域），以更好地维护自己的合法权益。
可能后果：
- 如果包工头能够提供充分的证据，并通过合法途径维护自己的权益，那么公司很可能会被要求支付拖欠的工程款。
- 如果公司仍然拒绝支付，那么可能会面临法律制裁，如被强制执行、罚款等。
- 同时，包工头也需要注意，在维护自己权益的过程中，要遵守法律法规，不得采取非法手段。
额外提醒：
- 在处理此类纠纷时，保持冷静和理性至关重要。避免采取过激行为或言语攻击，以免加剧矛盾或给自己带来不必要的麻烦。
- 如果病情紧急且治疗费用高昂，包工头也可以考虑向社会求助或申请医疗救助等，以缓解当前的经济压力。
如有任何进一步的问题或需要具体的法律帮助，请直接向我咨询。