可以申请刑事立案监督，但需满足特定条件且存在不同情形。具体分析如下：

1. 刑事立案监督的适用阶段与条件
   刑事立案监督是检察机关对公安机关的立案活动进行法律监督的制度，其核心目的是纠正“有案不立”“不应当立案而立案”等违法行为。根据《刑事诉讼法》第113条，若您认为公安机关对应当立案侦查的案件未立案，或对不应当立案的案件立案，可在知道公安机关作出立案或不立案决定之日起7日内向检察机关申请监督。
   但需注意：一审判决后申请刑事立案监督的场景较为特殊。若案件已进入审判阶段，通常意味着公安机关已立案并完成侦查，检察机关已提起公诉，此时申请立案监督的直接意义有限。但若您发现一审判决后出现新证据，证明公安机关存在应当立案而未立案的违法行为（如原案存在遗漏犯罪嫌疑人、新发现犯罪线索等），仍可依法申请监督。

2. 一审判决后申请监督的实践路径

   • 针对原案立案问题的监督：若一审判决后发现原立案程序违法（如公安机关未依法立案导致证据缺失、程序瑕疵等），可向作出原立案决定的公安机关的同级检察机关申请监督，提交书面申请书及证据材料（如报案记录、公安机关不予立案通知书、新证据等）。检察机关将审查公安机关的立案决定是否合法，若确认违法，会通知公安机关纠正。
     
   • 针对新发现犯罪的监督：若一审判决后发现与原案相关的新犯罪线索（如共犯、新罪行等），可直接向公安机关报案，若公安机关未立案，再按上述程序申请检察机关监督。此时监督的重点是公安机关对新犯罪线索的立案处理是否合法。

3. 申请监督的注意事项

   • 时效性：申请监督需在知道公安机关决定后7日内提出，逾期可能丧失权利。
     
   • 证据充分性：需提供初步证据证明公安机关可能存在违法立案或不立案行为，否则检察机关可能不予受理。
     
   • 与审判监督的区别：若您对一审判决结果不服，应通过上诉或申请再审等审判监督程序解决，而非刑事立案监督。立案监督仅针对公安机关的立案活动，不涉及法院判决。

建议：若您认为一审判决后存在公安机关立案程序违法或新犯罪线索未被处理的情况，可整理相关证据材料，尽快向同级检察机关申请刑事立案监督。如有具体案件细节需进一步分析，可直接向我咨询。